Завдання № 5.28

№ 5.28 Алгебра = № 10.28 Математика

Розв’яжіть рівняння:

$\frac{x^{2}+x+2}{3x^{2}+5x-14}=\frac{x^{2}+x+6}{3x^{2}+5x-10}$

$\frac{x^{2}+x+2}{3x^{2}+5x-14}=\frac{x^{2}+x+6}{3x^{2}+5x-10}$

Нехай $x^{2}+x=y$; $3x^{2}+5x=t$, тоді:

$\frac{y+2}{t-14}=\frac{y+6}{t-10}$

$(y+6)(t-14)=$

$=(y+2)(t-10)$

$yt-14y+6t-84=$

$=yt-10y+2t-20$

$-4y+4t=64$

$-y+t=16$

Підставимо значення $y$ та $t$:

$-(x^{2}+x)+(3x^{2}+5x)=16$

$2x^{2}+4x-16=0$

$x^{2}+2x-8=0$

За теоремою, оберненою до теореми Вієта:

$x_{1}=-4$, $x_{2}=2$.

Перевірка. Якщо $x=-4$, то

$3x^{2}+5x-14=14\neq0$,

$3x^{2}+5x-10=18\neq0$;

якщо $x=2$, то

$3x^{2}+5x-14=8\neq0$,

$3x^{2}+5x-10=12\neq0$.

Отже, обидва числа є коренями рівняння.

$-4$, $2$.