Будь-які два числа порівнюють за знаком їхньої різниці: якщо різниця $a-b$ додатна, то $a\gt b$, якщо від’ємна, то $a\lt b$, а якщо дорівнює нулю, числа рівні. Наприклад, $9-4=5$, різниця додатна, тому $9\gt 4$. Так само доводять нерівності зі змінними: складають різницю лівої і правої частин і показують, що її знак однаковий для всіх значень змінних. У параграфі є й нерівність Коші: середнє арифметичне двох невід’ємних чисел не менше від їхнього середнього геометричного.

Якщо не знаєте, як почати доведення, прочитайте статтю «Числові нерівності й доведення нерівностей: порівняння через різницю і нерівність Коші». У ній дев’ять розв’язаних прикладів, наочне доведення однієї з нерівностей на кресленні і розбір типових помилок.

Відповіді до № 1.1–1.40

Тут зібрано розв’язки всіх вправ параграфа: порівняти числа й вирази, зокрема з коренями, позначити точки на координатній прямій, з’ясувати, чи правильна нерівність за будь-якого значення змінної, довести нерівності виділенням квадрата, розкладанням на множники й за нерівністю Коші, текстові задачі на порівняння покупок.

Найчастіша помилка в цих вправах — після знака «−» другий добуток не беруть у дужки. Тоді знак змінюється лише в першого члена, і різниця виходить хибною.