№ 10.30 Алгебра = № 20.30 Математика
Відомо, що $x-\frac{1}{x}=1$. Знайдіть значення виразу:
1) $x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$;
2) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$.
Розв’язок:
1) $x-\frac{1}{x}=1$
$\left( x-\frac{1}{x} \right)^{3}=1^{3}$
$x^{3}-3x^{2}\cdot\frac{1}{x}+3x\cdot\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}=1$
$x^{3}-3x+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{3}}=1$
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\left( x-\frac{1}{x} \right)=1$
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\cdot1=1$
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=1+3$
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=4$
2) Спочатку знайдемо $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$:
$\left( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right)=\left( x-\frac{1}{x} \right)^{2}+2=$
$=1^{2}+2=3$
$\left( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \right)=$
$=\left( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right)^{2}-2x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}=$
$=3^{2}-2=9-2=7$