№ 8.37 Алгебра = № 18.37 Математика
Загадали деяке натуральне двоцифрове число. З правого боку до нього приписали це саме число і від числа відняли квадрат числа, яке загадали. Потім цю різницю поділили на 4 % від квадрата числа, яке загадали. Наслідок й остача виявилися рівними відповідно половині числа, та числу, яке загадали. Знайдіть, яке число загадали.
Розв’язок:
Нехай загадане число дорівнює $x$. Тоді приписавши його, отримаємо число $101x$.
Віднявши квадрат числа, отримаємо $101x-x^{2}$.
Цю різницю поділили з остачею на $0{,}04x^{2}$, тобто на 4 % від $x^{2}$. За умовою неповна частка дорівнює $\frac{x}{2}$, а остача дорівнює $x$.
Ділене дорівнює добутку дільника і неповної частки, до якого додано остачу, тому:
$101x-x^{2}=\frac{x}{2}\cdot0{,}04x^{2}+x$
$101x-x^{2}=0{,}02x^{3}+x$
$0{,}02x^{3}+x^{2}-100x=0$
Оскільки $x$ — натуральне двоцифрове число, то $x\neq0$. Поділимо обидві частини рівняння на $x$:
$0{,}02x^{2}+x-100=0$
Помножимо на $50$:
$x^{2}+50x-5000=0$
Розв’яжемо квадратне рівняння:
$D=50^{2}-4\cdot1\cdot(-5000)=$
$=2500+20000=22500$
$\sqrt{D}=150$
$x_{1}=\frac{-50+150}{2}=50$
$x_{2}=\frac{-50-150}{2}=-100$
Число $-100$ не є натуральним, тому $x=50$.
Перевірка: $5050-50^{2}=2550$; $0{,}04\cdot50^{2}=100$;
$2550=100\cdot25+50,$
де $25=50:2$ — неповна частка, $50<100$ — остача.
Відповідь:
$50$.