№ 18.43 Алгебра = № 35.43 Математика
Про послідовність $(a_{n})$ відомо, що $a_{1}=0$, $a_{n+1}=a_{n}+n$. Знайдіть формулу $n$-го члена цієї послідовності.
Розв’язок:
Запишемо перші кілька членів послідовності:
$a_{1}=0$
$a_{2}=a_{1}+1=0+1$
$a_{3}=a_{2}+2=0+1+2$
$a_{4}=a_{3}+3=0+1+2+3$
Бачимо, що $n$-й член послідовності є сумою перших $(n-1)$ натуральних чисел:
$a_{n}=1+2+3+\ldots+(n-1)$
Ця сума — сума $n-1$ перших членів арифметичної прогресії $1$; $2$; $3$; … . За формулою суми перших членів арифметичної прогресії:
$a_{n}=\frac{1+(n-1)}{2}\cdot(n-1)=$
$=\frac{n(n-1)}{2}$
Відповідь:
$a_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$