№ 21.32 Алгебра = № 38.32 Математика
Знайдіть найбільше значення функції $y=\frac{20x^{2}}{x^{4}+100}$.
Розв’язок:
Якщо $x=0$, то $y=0$.
Якщо $x\neq0$, поділимо чисельник і знаменник дробу на $x^{2}$:
$y=\frac{20}{x^{2}+\frac{100}{x^{2}}}$
За нерівністю Коші для додатних чисел $a=x^{2}$ та $b=\frac{100}{x^{2}}$:
$x^{2}+\frac{100}{x^{2}}\geq2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{100}{x^{2}}}=$
$=2\sqrt{100}=20$
Отже, знаменник дробу $x^{2}+\frac{100}{x^{2}}$ набуває найменшого значення $20$, тому дріб $\frac{20}{x^{2}+\frac{100}{x^{2}}}$ набуває найбільшого значення:
$y_{\text{max}}=\frac{20}{20}=1$
Відповідь:
$1$.