№ 21.32 Алгебра = № 38.32 Математика
Знайдіть найбільше значення функції $y=\frac{20x^{2}}{x^{4}+100}$.
Розв’язок:
Якщо $x=0$, то $y=0$.
Якщо $x\neq0$, поділимо чисельник і знаменник дробу на $x^{2}$:
$y=\frac{20}{x^{2}+\frac{100}{x^{2}}}$
За нерівністю Коші для додатних чисел $a=x^{2}$ та $b=\frac{100}{x^{2}}$:
$x^{2}+\frac{100}{x^{2}}\geq2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{100}{x^{2}}}=$
$=2\sqrt{100}=20$
Рівність досягається, якщо $x^{2}=\frac{100}{x^{2}}$.
Звідси $x^{4}=100$, $x^{2}=10$, $x=\pm\sqrt{10}$.
Отже, найменше значення знаменника дорівнює $20$, тому найбільше значення дробу:
$y_{\text{max}}=\frac{20}{20}=1.$
При $x=0$ маємо $y=0<1$, отже, найбільше значення функції дорівнює $1$.
Відповідь:
$1$.