№ 26.26 Алгебра = № 50.26 Математика
За яких значень $a$ рівняння $\frac{ax^{2}-8x+a}{x-2}=0$ має єдиний розв’язок?
Розв’язок:
Рівняння рівносильне системі:
$\begin{cases} ax^{2}-8x+a=0 \\ x\neq2 \end{cases}$
Якщо $a=0$, рівняння набуває вигляду $-8x=0$, звідки $x=0$. Оскільки $0\neq2$, це єдиний розв’язок. Отже, $a=0$ задовольняє умову.
Якщо $a\neq0$, рівняння $ax^{2}-8x+a=0$ квадратне. Система має єдиний розв’язок у двох випадках:
а) Дискримінант дорівнює нулю:
$D=(-8)^{2}-4\cdot a\cdot a=$
$=64-4a^{2}=0$
$4a^{2}=64$
$a^{2}=16$
$a=4\text{ або }a=-4$
Перевіримо, чи не є корінь рівним $2$:
Якщо $a=4$, маємо:
$4x^{2}-8x+4=0$
$x^{2}-2x+1=0$
$(x-1)^{2}=0$
$x=1$; $1\neq2$ — підходить.
Якщо $a=-4$, маємо:
$-4x^{2}-8x-4=0$
$x^{2}+2x+1=0$
$(x+1)^{2}=0$
$x=-1$; $-1\neq2$ — підходить.
б) Один із коренів квадратного рівняння дорівнює $2$ (тоді він відкидається умовою $x\neq2$), а інший — ні.
Підставимо $x=2$ у рівняння $ax^{2}-8x+a=0$:
$a\cdot2^{2}-8\cdot2+a=0$
$4a-16+a=0$
$5a=16$
$a=3{,}2$
При $a=3{,}2$ рівняння має вигляд:
$3{,}2x^{2}-8x+3{,}2=0$
Один із коренів $x_{1}=2$ — не підходить. За теоремою Вієта
$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{3{,}2}{3{,}2}=1,$
тому $x_{2}=1:2=0{,}5$.
Оскільки $0{,}5\neq2$, це єдиний розв’язок. Підходить.
Відповідь:
$a \in \{-4;\ 0;\ 3{,}2;\ 4\}$.