№ 7.36 Геометрія = № 14.36 Математика
Дано трапецію $ABCD$ з основами $AD$ і $BC$. Бісектриса кута $ABC$ перетинає середню лінію трапеції в точці $N$, а основу $AD$ — у точці $K$. Чи можна знайти градусну міру кута $ANB$? У разі ствердної відповіді знайдіть градусну міру цього кута.
Розв’язок:
$ABCD$ — трапеція. $BK$ — бісектриса кута $ABC$, $MP$ — середня лінія.
Середня лінія трапеції ділить відрізок $BK$ навпіл, тому $N$ — середина $BK$.
$MN$ — середня лінія трикутника $ABK$, тому $MN=\frac{1}{2}AK$. Проведемо $NZ \parallel AB$ ($Z \in AD$). Тоді $NZ$ — теж середня лінія трикутника $ABK$: $Z$ — середина $AK$, $NZ=\frac{1}{2}AB$.
$\angle 1=\angle 2$, бо $BK$ — бісектриса; $\angle 3=\angle 2$ — внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $BK$. Звідси $\angle 1=\angle 3$, тому $AB=AK$.
Тоді $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AK=AZ$, $MN=\frac{1}{2}AK=AZ$, $NZ=\frac{1}{2}AB=AM$, а $AN$ — спільна сторона трикутників $AMN$ і $AZN$.
Отже, $\bigtriangleup AMN=\bigtriangleup AZN$ за трьома сторонами, тоді $\angle MAN=\angle ZAN$, тобто $AN$ — бісектриса кута $BAD$.
$\angle A+\angle B=180^{\circ}$; $\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=90^{\circ}$, а саме $\angle BAN+\angle ABN=90^{\circ}$.
$\bigtriangleup ABN$: $\angle ANB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
Відповідь:
Так, можна; $\angle ANB=90^{\circ}$.