№ 7.36 Геометрія = № 14.36 Математика
Дано трапецію $ABCD$ з основами $AD$ і $BC$. Бісектриса кута $ABC$ перетинає середню лінію трапеції в точці $N$, а основу $AD$ — у точці $K$. Чи можна знайти градусну міру кута $ANB$? У разі ствердної відповіді знайдіть градусну міру цього кута.
Розв’язок:
$ABCD$ — трапеція. $BK$ — бісектриса кута $ABC$, $MP$ — середня лінія.
Проведемо $NZ \parallel AB$. Тоді $Z$ — середина $AK$; $AZ=\frac{1}{2}AK$.
$\angle 1=\angle 2$, бо $BK$ — бісектриса, $\angle 3=\angle 2$ — внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $BK$. Звідси $\angle 1=\angle 3$, тоді $AB=AK$, завше $AM=\frac{1}{2}AB$; $AZ=\frac{1}{2}AK$, тоді $AM=AZ$; $AM$ — спільна для $\bigtriangleup AMN$ і $\bigtriangleup AZN$; $MN=\frac{1}{2}AZ$ за властивістю середньої лінії трикутника.
Звідси $\bigtriangleup AMN=\bigtriangleup AZN$, тоді $\angle MAN=\angle ZAN$, тобто $AN$ — бісектриса $\angle BAD$.
$\angle A+\angle B=180^{\circ}$; $\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=90^{\circ}$, а саме $\angle BAN+\angle ABN=90^{\circ}$.
$\bigtriangleup ABN$: $\angle ANB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
Відповідь:
Так, можна; $\angle ANB=90^{\circ}$.