№ 21.25 Геометрія = № 42.25 Математика
Бісектриса кута $A$ трикутника $ABC$ перетинає описане навколо нього коло в точці $D$. Знайдіть довжини хорд $DC$ і $DB$, якщо $DI=l$, де $I$ — центр кола, вписаного у трикутник.
Розв’язок:
Оскільки $AD$ — бісектриса кута $A$, то $\angle BAD=\angle CAD=\frac{\angle A}{2}$. Хорди $DB$ і $DC$ кола радіуса $R$ лежать проти рівних вписаних кутів, тому за наслідком з теореми синусів $DB=2R\sin\angle BAD=2R\sin\angle CAD=DC$.
Центр $I$ вписаного кола — точка перетину бісектрис трикутника, тому $I$ лежить на відрізку $AD$ і $\angle ABI=\angle CBI=\frac{\angle B}{2}$.
Вписані кути $DBC$ і $DAC$ спираються на ту саму дугу $DC$, тому $\angle DBC=\angle DAC=\frac{\angle A}{2}$. Звідси $\angle DBI=\angle DBC+\angle CBI=\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}$.
Кут $BID$ — зовнішній кут трикутника $ABI$, тому $\angle BID=\angle BAI+\angle ABI=\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}$.
Отже, $\angle DBI=\angle BID$, тобто трикутник $DBI$ рівнобедрений і $DB=DI$.
Тобто:
$DB=DC=DI$
Оскільки за умовою $DI=l$, то:
$DB=l$
$DC=l$
Відповідь:
$l$, $l$.