№ 27.20 Геометрія = № 53.20 Математика
Сторони прямокутного трикутника утворюють геометричну прогресію зі знаменником $q$, де $q>1$. Знайдіть $q$.
Розв’язок:
Нехай сторони трикутника дорівнюють $a$, $aq$, $aq^{2}$.
Оскільки $q>1$, то $aq^{2}$ є найбільшою стороною, тобто гіпотенузою.
За теоремою Піфагора:
$a^{2}+(aq)^{2}=(aq^{2})^{2}$
$a^{2}+a^{2}q^{2}=a^{2}q^{4}$
Поділимо обидві частини рівняння на $a^{2}$ (оскільки $a\neq0$):
$1+q^{2}=q^{4}$
$q^{4}-q^{2}-1=0$
Нехай $q^{2}=t$, де $t>0$. Тоді:
$t^{2}-t-1=0$
$t=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot(-1)}}{2}=$
$=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
Оскільки $t=q^{2}>0$, то обираємо додатне значення:
$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Отже:
$q^{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
Відповідь:
$\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$