№ 29.18 Геометрія = № 55.18 Математика
Із точки $A$ до кола, радіус якого $35$ см, проведено дві дотичні $AB$ і $AC$, $BC=56$ см. Знайдіть $AB$. Знайдіть кілька способів розв’язування задачі.
Розв’язок:
Нехай $O$ — центр кола, $R=OB=OC=35$ см. $AB$ і $AC$ — дотичні, тому $OB \perp AB$ і $OC \perp AC$.
$AO$ — бісектриса кута $BAC$ і серединний перпендикуляр до хорди $BC$. Нехай $M$ — точка перетину $AO$ і $BC$.
Тоді $BM=MC=\frac{BC}{2}=\frac{56}{2}=28$ (см).
У прямокутному трикутнику $OBM$ ($\angle OMB=90^{\circ}$):
$OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=$
$=\sqrt{35^{2}-28^{2}}=$
$=\sqrt{(35-28)(35+28)}=$
$=\sqrt{7\cdot63}=\sqrt{441}=21$ (см).
Спосіб 1 (через подібність трикутників):
Трикутники $OAB$ і $OBM$ подібні (спільний кут $O$ та прямі кути $\angle OBA=\angle OMB=90^{\circ}$). Звідси:
$\frac{AB}{BM}=\frac{OB}{OM}$
$AB=\frac{OB\cdot BM}{OM}=\frac{35\cdot28}{21}=$
$=\frac{35\cdot4}{3}=\frac{140}{3}=46\frac{2}{3}$ (см).
Спосіб 2 (через метричні співвідношення):
У прямокутному трикутнику $OBA$ відрізок $BM$ є висотою, проведеною до гіпотенузи $OA$.
За властивістю висоти: $OB^{2}=OM\cdot OA$.
$35^{2}=21\cdot OA$
$1225=21\cdot OA$
$OA=\frac{1225}{21}=\frac{175}{3}$ (см).
Тоді за теоремою Піфагора з трикутника $OBA$:
$AB=\sqrt{OA^{2}-OB^{2}}=$
$=\sqrt{\left( \frac{175}{3} \right)^{2}-35^{2}}=$
$=\sqrt{\frac{30625}{9}-1225}=$
$=\sqrt{\frac{30625-11025}{9}}=$
$=\sqrt{\frac{19600}{9}}=\frac{140}{3}=46\frac{2}{3}$ (см).
Відповідь:
$46\frac{2}{3}$ см.