№ 30.16 Геометрія = № 56.16 Математика
У прямокутний трикутник з катетами $3$ см і $4$ см вписано квадрат так, що дві його вершини належать гіпотенузі, а дві інші — катетам. Знайдіть сторону квадрата.
Розв’язок:
Нехай $ABC$ — даний трикутник, $\angle C=90^{\circ}$, $AC=3$ см, $BC=4$ см.
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу $AB$:
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=$
$=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=$
$=\sqrt{25}=5\text{ (см)}$
Нехай сторона вписаного квадрата дорівнює $x$. Висота $h$ трикутника $ABC$, проведена до гіпотенузи $AB$, обчислюється за формулою:
$h=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3\cdot4}{5}=2{,}4\text{ (см)}$
Трикутник, відсічений стороною квадрата, паралельною гіпотенузі, подібний до трикутника $ABC$. Висота цього малого трикутника дорівнює $h-x$, а його основа — $x$.
За властивістю подібних трикутників:
$\frac{x}{AB}=\frac{h-x}{h}$
Підставимо значення:
$\frac{x}{5}=\frac{2{,}4-x}{2{,}4}$
$2{,}4x=5(2{,}4-x)$
$2{,}4x=12-5x$
$7{,}4x=12$
$x=\frac{12}{7{,}4}=\frac{120}{74}=$
$=\frac{60}{37}=1\frac{23}{37}\text{ (см)}$
Відповідь:
$1\frac{23}{37}$ см.