Сторінка 108
Варіант 1
С–3А
1. Розв'яжіть нерівність:
1) $2x - 4 \gt 10$;
2) $3x - 5 \le 5x - 2$.
Розв'язок:
1) $2x - 4 \gt 10$
$2x \gt 10 + 4$
$2x \gt 14$
$x \gt 7$
2) $3x - 5 \le 5x - 2$
$3x - 5x \le -2 + 5$
$-2x \le 3$
$x \ge -1{,}5$
Відповідь: 1) $(7; +\infty)$;
2) $[-1{,}5; +\infty)$.
2. Знайдіть натуральні розв'язки нерівності $5(x - 2) \lt 2x - 2{,}2$.
Розв'язок:
$5(x - 2) \lt 2x - 2{,}2$
$5x - 10 \lt 2x - 2{,}2$
$5x - 2x \lt -2{,}2 + 10$
$3x \lt 7{,}8$
$x \lt 2{,}6$
Натуральні числа, менші від $2{,}6$: $1$; $2$.
Відповідь: $1$; $2$.
3. Розв'яжіть систему нерівностей
$\begin{cases} 4x + 12 \gt 0, \\ x - 4 \lt 1. \end{cases}$
Розв'язок:
$\begin{cases} 4x \gt -12, \\ x \lt 5; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt -3, \\ x \lt 5. \end{cases}$
Перетин проміжків $(-3; +\infty)$ і $(-\infty; 5)$ — проміжок $(-3; 5)$.
Відповідь: $(-3; 5)$.
С–3Б
1. Розв'яжіть нерівність:
1) $5(x - 3) \gt 7 - x$;
2) $2(3x + 1) - x \gt 5x$.
Розв'язок:
1) $5(x - 3) \gt 7 - x$
$5x - 15 \gt 7 - x$
$5x + x \gt 7 + 15$
$6x \gt 22$
$x \gt \frac{22}{6}$
$x \gt 3\frac{2}{3}$
2) $2(3x + 1) - x \gt 5x$
$6x + 2 - x \gt 5x$
$5x - 5x \gt -2$
$0 \cdot x \gt -2$
Нерівність $0 \gt -2$ правильна за будь-якого значення $x$, тож $x$ — будь-яке число.
Відповідь: 1) $\left(3\frac{2}{3}; +\infty\right)$;
2) $(-\infty; +\infty)$.
2. Знайдіть найбільше ціле значення $a$, за якого різниця дробів $\frac{16 - 3a}{3}$ і $\frac{3a + 7}{4}$ додатна.
Розв'язок:
$\frac{16 - 3a}{3} - \frac{3a + 7}{4} \gt 0 \quad | \cdot 12$
$4(16 - 3a) - 3(3a + 7) \gt 0$
$64 - 12a - 9a - 21 \gt 0$
$-21a \gt -43$
$a \lt \frac{43}{21}$
$a \lt 2\frac{1}{21}$
Найбільше ціле число, менше від $2\frac{1}{21}$, — це $2$.
Відповідь: $2$.
3. Розв'яжіть систему нерівностей
$\begin{cases} \frac{x}{5} + \frac{x}{6} \lt 11, \\ x(x - 1) - (x + 2)^2 \lt -4. \end{cases}$
Розв'язок:
Першу нерівність помножимо на $30$, у другій розкриємо дужки:
$\begin{cases} 6x + 5x \lt 330, \\ x^2 - x - x^2 - 4x - 4 \lt -4; \end{cases}$
$\begin{cases} 11x \lt 330, \\ -5x \lt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 30, \\ x \gt 0. \end{cases}$
Перетин проміжків $(-\infty; 30)$ і $(0; +\infty)$ — проміжок $(0; 30)$.
Відповідь: $(0; 30)$.
С–3В
1. Розв'яжіть нерівність:
1) $(2x - 3)(x + 2) \lt (x - 3)(2x - 7)$;
2) $(x - 2)^2 - (x - 2)(x + 2) \lt 1 - 4x$.
Розв'язок:
1) $(2x - 3)(x + 2) \lt (x - 3)(2x - 7)$
$2x^2 + 4x - 3x - 6 \lt$
$\lt 2x^2 - 7x - 6x + 21$
$2x^2 + x - 6 \lt 2x^2 - 13x + 21$
$x + 13x \lt 21 + 6$
$14x \lt 27$
$x \lt \frac{27}{14}$
$x \lt 1\frac{13}{14}$
2) $(x - 2)^2 - (x - 2)(x + 2) \lt 1 - 4x$
$x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 4) \lt 1 - 4x$
$x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4 \lt 1 - 4x$
$-4x + 8 \lt 1 - 4x$
$-4x + 4x \lt 1 - 8$
$0 \cdot x \lt -7$
Нерівність $0 \lt -7$ неправильна за будь-якого значення $x$.
Відповідь: 1) $\left(-\infty; 1\frac{13}{14}\right)$;
2) розв'язків немає.
2. За яких цілих невід'ємних значень $x$ правильною є нерівність $x - \frac{7 + x}{4} + \frac{8 - 11x}{12} \gt \frac{x - 5}{3}$?
Розв'язок:
Помножимо обидві частини нерівності на $12$:
$12x - 3(7 + x) + 8 - 11x \gt$
$\gt 4(x - 5)$
$12x - 21 - 3x + 8 - 11x \gt 4x - 20$
$-2x - 13 \gt 4x - 20$
$-2x - 4x \gt -20 + 13$
$-6x \gt -7$
$x \lt \frac{7}{6}$
$x \lt 1\frac{1}{6}$
Цілі невід'ємні числа, менші від $1\frac{1}{6}$: $0$; $1$.
Відповідь: $0$; $1$.
3. За яких значень змінної має зміст вираз $\frac{13}{|x| - 2} + \frac{7}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{5 - 2x}$?
Розв'язок:
Вираз має зміст, якщо одночасно: знаменник першого дробу не дорівнює нулю; вираз під коренем у знаменнику другого дробу додатний; вираз під третім коренем невід'ємний:
$\begin{cases} |x| - 2 \ne 0, \\ x + 3 \gt 0, \\ 5 - 2x \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ne -2, \ x \ne 2, \\ x \gt -3, \\ x \le 2{,}5. \end{cases}$
Розв'язок двох останніх нерівностей — проміжок $(-3; 2{,}5]$; з нього треба вилучити числа $-2$ і $2$.
Відповідь: $(-3; -2) \cup (-2; 2) \cup$
$\cup (2; 2{,}5]$.