Сторінка 41
Функції. Область визначення, область значень функції та графік функції
368. Назвіть незалежну змінну та залежну змінну у функції:
1) $y = x^2 - 4x$;
2) $2m + \frac{1}{m} = p$;
3) $y = \frac{1}{t^2 + t + \sqrt{t}}$.
Розв'язок:
1) $x$ — незалежна змінна (аргумент), $y$ — залежна змінна (функція).
2) $m$ — незалежна змінна, $p$ — залежна змінна.
3) $t$ — незалежна змінна, $y$ — залежна змінна.
369. Знайдіть:
1) $f(2)$, $f(0)$, $f(1)$, якщо $f(x) = 10x - 3$;
2) $g(3)$, $g(-1)$, $g\left(\frac{1}{2}\right)$, якщо $g(x) = x^2 - x$;
3) $t(0)$, $t(1)$, якщо $t(x) = \frac{x - 2}{x + 2}$.
Розв'язок:
1) $f(2) = 10 \cdot 2 - 3 = 17$;
$f(0) = 10 \cdot 0 - 3 = -3$;
$f(1) = 10 \cdot 1 - 3 = 7$.
2) $g(3) = 3^2 - 3 = 6$;
$g(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$;
$g\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$.
3) $t(0) = \frac{0 - 2}{0 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$;
$t(1) = \frac{1 - 2}{1 + 2} = -\frac{1}{3}$.
Відповідь: 1) $17$; $-3$; $7$;
2) $6$; $2$; $-\frac{1}{4}$;
3) $-1$; $-\frac{1}{3}$.
370. Знайдіть:
1) $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, якщо $f(x) = 3x - x^2$;
2) $g(0)$, $g(2)$, $g(-3)$, якщо $g(x) = \frac{x + 3}{x - 1}$.
Розв'язок:
1) $f(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 = 0$;
$f(1) = 3 \cdot 1 - 1^2 = 2$;
$f(2) = 3 \cdot 2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$.
2) $g(0) = \frac{0 + 3}{0 - 1} = -3$;
$g(2) = \frac{2 + 3}{2 - 1} = 5$;
$g(-3) = \frac{-3 + 3}{-3 - 1} = \frac{0}{-4} = 0$.
Відповідь: 1) $0$; $2$; $2$;
2) $-3$; $5$; $0$.
371. Нехай $t(x) = x^2 - 2x + 3$. Знайдіть $t(-1) + t(0) + t(1)$.
Розв'язок:
$t(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 =$
$= 1 + 2 + 3 = 6$;
$t(0) = 0 - 0 + 3 = 3$;
$t(1) = 1 - 2 + 3 = 2$.
$t(-1) + t(0) + t(1) =$
$= 6 + 3 + 2 = 11$.
Відповідь: $11$.
372. Дано функції $f(x) = \sqrt{x} + x$ і $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$. Порівняйте:
1) $f(1)$ і $g(1)$;
2) $f(4)$ і $g(2)$.
Розв'язок:
1) $f(1) = \sqrt{1} + 1 = 2$;
$g(1) = \frac{1^2 + 1}{1} = 2$.
Отже, $f(1) = g(1)$.
2) $f(4) = \sqrt{4} + 4 = 6$;
$g(2) = \frac{2^2 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5$.
Оскільки $6 \gt 2{,}5$, то $f(4) \gt g(2)$.
Відповідь: 1) $f(1) = g(1)$;
2) $f(4) \gt g(2)$.
373. Дано функції $f(x) = x^2 - 1$ і $g(x) = \frac{1}{2x - 3}$.
1) Знайдіть $f(0) + g(1)$.
2) Порівняйте $f(1)$ і $g(2)$.
Розв'язок:
1) $f(0) = 0^2 - 1 = -1$;
$g(1) = \frac{1}{2 \cdot 1 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$;
$f(0) + g(1) = -1 + (-1) = -2$.
2) $f(1) = 1^2 - 1 = 0$;
$g(2) = \frac{1}{2 \cdot 2 - 3} = 1$.
Оскільки $0 \lt 1$, то $f(1) \lt g(2)$.
Відповідь: 1) $-2$;
2) $f(1) \lt g(2)$.
374. Знайдіть область визначення функції:
1) $f(x) = 14 - x$;
2) $f(x) = \frac{20}{x}$;
3) $g(x) = x^2 - 2$;
4) $g(x) = \sqrt{x} - 2$;
5) $t(x) = \frac{1}{x - 5}$;
6) $t(x) = \frac{4}{7x + 5}$.
Розв'язок:
1) Вираз $14 - x$ має зміст за будь-якого значення $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2) Знаменник не може дорівнювати нулю: $x \ne 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3) Вираз $x^2 - 2$ має зміст за будь-якого значення $x$.
$D(g) = (-\infty; +\infty)$.
4) Під знаком кореня — невід'ємне число: $x \ge 0$.
$D(g) = [0; +\infty)$.
5) $x - 5 \ne 0$, тобто $x \ne 5$.
$D(t) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.
6) $7x + 5 \ne 0$;
$7x \ne -5$;
$x \ne -\frac{5}{7}$.
$D(t) = \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup$
$\cup \left(-\frac{5}{7}; +\infty\right)$.
Відповідь: 1) $(-\infty; +\infty)$;
2) $x \ne 0$;
3) $(-\infty; +\infty)$;
4) $[0; +\infty)$;
5) $x \ne 5$;
6) $x \ne -\frac{5}{7}$.
375. Яка область визначення функції, заданої формулою:
1) $f(x) = x^2 + 3$;
2) $f(x) = -\frac{12}{x}$;
3) $g(x) = \frac{x + 7}{5}$;
4) $g(x) = \frac{1}{x + 9}$;
5) $t(x) = 2 - \sqrt{x}$;
6) $t(x) = \frac{5}{5x - 3}$?
Розв'язок:
1) Вираз $x^2 + 3$ має зміст за будь-якого значення $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2) $x \ne 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3) Знаменник дробу — число $5$, тож вираз має зміст за будь-якого $x$.
$D(g) = (-\infty; +\infty)$.
4) $x + 9 \ne 0$, тобто $x \ne -9$.
$D(g) = (-\infty; -9) \cup (-9; +\infty)$.
5) $x \ge 0$.
$D(t) = [0; +\infty)$.
6) $5x - 3 \ne 0$;
$5x \ne 3$;
$x \ne 0{,}6$.
$D(t) = (-\infty; 0{,}6) \cup (0{,}6; +\infty)$.
Відповідь: 1) $(-\infty; +\infty)$;
2) $x \ne 0$;
3) $(-\infty; +\infty)$;
4) $x \ne -9$;
5) $[0; +\infty)$;
6) $x \ne 0{,}6$.
376. За якого значення $x$ значення функції $g(x) = 8 - 3x$ дорівнює:
1) $5$;
2) $11$;
3) $0$;
4) $2024$?
Розв'язок:
1) $8 - 3x = 5$
$-3x = 5 - 8$
$-3x = -3$
$x = 1$
2) $8 - 3x = 11$
$-3x = 3$
$x = -1$
3) $8 - 3x = 0$
$-3x = -8$
$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
4) $8 - 3x = 2024$
$-3x = 2016$
$x = -672$
Відповідь: 1) $1$;
2) $-1$;
3) $2\frac{2}{3}$;
4) $-672$.