Сторінка 104
Варіант 1
С-2А
1. Складіть рівняння кола із центром у точці $Q(-1; 2)$, що проходить через точку $M(3; 5)$.
Розв'язок:
Радіус кола $R = QM$:
$R^2 = (3 - (-1))^2 + (5 - 2)^2 =$
$= 16 + 9 = 25$.
Рівняння кола із центром $Q(-1; 2)$ і $R^2 = 25$:
$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
Відповідь: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
2. Запишіть рівняння прямої $14x - 2y + 7 = 0$ у вигляді $y = kx + l$ та знайдіть її кутовий коефіцієнт.
Розв'язок:
$14x - 2y + 7 = 0$
$2y = 14x + 7$
$y = 7x + 3{,}5$
Кутовий коефіцієнт $k = 7$.
Відповідь: $y = 7x + 3{,}5$; $k = 7$.
С-2Б
1. Знайдіть центр та радіус кола, що задано рівнянням $x^2 - 4x + y^2 + 6y - 12 = 0$.
Розв'язок:
Виділимо повні квадрати ($12 + 4 + 9 = 25$):
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
Центр кола — точка $Q(2; -3)$, радіус $R = \sqrt{25} = 5$.
Відповідь: $Q(2; -3)$, $R = 5$.
2. Складіть рівняння прямої, що містить медіану $BM$ трикутника $ABC$, якщо $A(-2; 3)$, $B(3; -5)$, $C(2; 7)$.
Розв'язок:
$M$ — середина сторони $AC$:
$x_M = \frac{-2 + 2}{2} = 0$; $y_M = \frac{3 + 7}{2} = 5$; $M(0; 5)$.
Рівняння прямої $BM$ шукаємо у вигляді $y = kx + l$. Підставимо координати точок $M$ і $B$:
$5 = k \cdot 0 + l$, тож $l = 5$;
$-5 = 3k + 5$, $3k = -10$, $k = -\frac{10}{3}$.
$y = -\frac{10}{3}x + 5$, або $10x + 3y - 15 = 0$.
Відповідь: $10x + 3y - 15 = 0$.
С-2В
1. Складіть рівняння кола із центром на бісектрисі другого координатного кута радіуса 5, яке проходить через точку $A(-7; 8)$.
Розв'язок:
Бісектриса другого координатного кута — промінь $y = -x$, $x \lt 0$. Тому центр кола — точка $Q(t; -t)$, де $t \lt 0$.
$QA = 5$, тобто $QA^2 = 25$:
$(-7 - t)^2 + (8 + t)^2 = 25$
$t^2 + 14t + 49 + t^2 + 16t + 64 = 25$
$2t^2 + 30t + 88 = 0$
$t^2 + 15t + 44 = 0$
$t_1 = -4$, $t_2 = -11$.
Обидва значення від'ємні, тож задача має два розв'язки: $Q_1(-4; 4)$ і $Q_2(-11; 11)$.
Відповідь: $(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 25$ або
$(x + 11)^2 + (y - 11)^2 = 25$.
2. Для якого значення $a$ точки $K(-2; 3)$, $L(4; -3)$ та $M(a; 1)$ лежатимуть на одній прямій?
Розв'язок:
Рівняння прямої $KL$ шукаємо у вигляді $y = kx + l$. Підставимо координати точок $K$ і $L$:
$3 = -2k + l$;
$-3 = 4k + l$.
Віднімемо від першої рівності другу: $6 = -6k$, $k = -1$; тоді $l = 3 + 2k = 1$.
Пряма $KL$: $y = -x + 1$.
Точка $M(a; 1)$ лежить на цій прямій, якщо $1 = -a + 1$, тобто $a = 0$.
Відповідь: $a = 0$.