Сторінка 40
427. Накресліть вектори $\overrightarrow{CM}$ і $\overrightarrow{DN}$. Побудуйте вектор, що є сумою цих векторів за правилом:
1) трикутника;
2) паралелограма.
Розв'язок:
1) Від кінця вектора $\overrightarrow{CM}$ (точки $M$) відкладемо вектор $\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{DN}$. За правилом трикутника:
$\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{DN} =$
$= \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{CK}$.
2) Від точки $C$ відкладемо вектор $\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{DN}$ і добудуємо паралелограм $CMKP$. За правилом паралелограма:
$\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{DN} =$
$= \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CK}$.
Відповідь: 1), 2) $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{CK}$.
428. Дано вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ (мал. 46). Побудуйте вектор $\vec{n} = \vec{a} + \vec{b}$.
Розв'язок:
Від кінця вектора $\vec{a}$ відкладемо вектор, що дорівнює вектору $\vec{b}$ (4 клітинки праворуч). За правилом трикутника вектор $\vec{n}$ іде від початку вектора $\vec{a}$ до кінця відкладеного вектора.
429. Накресліть два неколінеарних вектори $\vec{k}$ і $\vec{l}$. Побудуйте вектор $\vec{c} = \vec{k} + \vec{l}$.
Розв'язок:
Накреслимо вектор $\overrightarrow{AB} = \vec{k}$, а від його кінця $B$ — вектор $\overrightarrow{BC} = \vec{l}$, не колінеарний вектору $\vec{k}$. За правилом трикутника:
$\vec{c} = \vec{k} + \vec{l} =$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Відповідь: $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$.
430. Накресліть вектори $\overrightarrow{DK}$ і $\overrightarrow{DM}$. Побудуйте різницю векторів $\overrightarrow{DK} - \overrightarrow{DM}$.
Розв'язок:
Вектори мають спільний початок $D$. Оскільки $\overrightarrow{DM} + \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{DK}$, то $\overrightarrow{DK} - \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{MK}$ — вектор від кінця від'ємника до кінця зменшуваного.
Відповідь: $\overrightarrow{DK} - \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{MK}$.
431. Накресліть вектори $\overrightarrow{BL}$ і $\overrightarrow{BN}$. Побудуйте різницю векторів $\overrightarrow{BL} - \overrightarrow{BN}$.
Розв'язок:
Вектори мають спільний початок $B$. Оскільки $\overrightarrow{BN} + \overrightarrow{NL} = \overrightarrow{BL}$, то $\overrightarrow{BL} - \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NL}$.
Відповідь: $\overrightarrow{BL} - \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NL}$.
432. Накресліть два неколінеарних вектори $\vec{m}$ і $\vec{n}$. Побудуйте вектор $\vec{d} = \vec{m} - \vec{n}$.
Розв'язок:
Від точки $O$ відкладемо вектори $\overrightarrow{OA} = \vec{m}$ і $\overrightarrow{OB} = \vec{n}$. Оскільки $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}$, то
$\vec{d} = \vec{m} - \vec{n} =$
$= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$.
Відповідь: $\vec{d} = \overrightarrow{BA}$.
433. Дано вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ (мал. 46). Побудуйте вектор $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$.
Розв'язок:
Від початку вектора $\vec{b}$ відкладемо вектор, що дорівнює вектору $\vec{a}$. Тоді вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ мають спільний початок, і різниця $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ — вектор від кінця вектора $\vec{b}$ до кінця відкладеного вектора $\vec{a}$ (бо $\vec{b} + \vec{d} = \vec{a}$).
434. Дано паралелограм $ABCD$ (мал. 47). Виразіть вектори $\overrightarrow{BD}$ і $\overrightarrow{CA}$ через вектори $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$.
Розв'язок:
$BD$ — діагональ паралелограма $ABCD$, побудованого на векторах $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$, тому за правилом паралелограма:
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$.
Вектори $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$ мають спільний початок, і $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}$, тому:
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}$.
Відповідь: $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$;
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}$.
435. Дано прямокутник $ABCD$ (мал. 48). Виразіть вектори $\overrightarrow{CA}$ і $\overrightarrow{DB}$ через вектори $\overrightarrow{DA}$ і $\overrightarrow{DC}$.
Розв'язок:
Вектори $\overrightarrow{DA}$ і $\overrightarrow{DC}$ мають спільний початок, і $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA}$, тому:
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$.
$DB$ — діагональ прямокутника $ABCD$, побудованого на векторах $\overrightarrow{DA}$ і $\overrightarrow{DC}$, тому за правилом паралелограма:
$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}$.
Відповідь: $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$;
$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}$.
436. Дано $\vec{a}(3; -7)$, $\vec{b}(x; y)$, $\vec{c}(2; 5)$, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$. Знайдіть $x$ та $y$.
Розв'язок:
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$, тому $\vec{b} = \vec{c} - \vec{a}$:
$x = 2 - 3 = -1$;
$y = 5 - (-7) = 12$.
Відповідь: $x = -1$, $y = 12$.
437. Дано $\vec{a}(-2; 5)$, $\vec{b}(x; y)$, $\vec{c}(-4; 0)$, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$. Знайдіть $x$ та $y$.
Розв'язок:
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$, тому $\vec{b} = \vec{a} - \vec{c}$:
$x = -2 - (-4) = 2$;
$y = 5 - 0 = 5$.
Відповідь: $x = 2$, $y = 5$.
438. Дано $\vec{d}(4; -1)$, $\vec{m}(x; y)$, $\vec{l}(2; 4)$, $\vec{d} - \vec{m} + \vec{l} = \vec{0}$. Знайдіть $x$ та $y$.
Розв'язок:
$\vec{d} - \vec{m} + \vec{l} = \vec{0}$, тому $\vec{m} = \vec{d} + \vec{l}$:
$x = 4 + 2 = 6$;
$y = -1 + 4 = 3$.
Відповідь: $x = 6$, $y = 3$.
439. Дано $\vec{k}(2; 5)$, $\vec{a}(x; y)$, $\vec{p}(4; -9)$, $\vec{k} + \vec{n} - \vec{p} = \vec{0}$. Знайдіть $x$ та $y$.
Розв'язок:
В умові, ймовірно, друкарська помилка: координати $x$ та $y$ задано для вектора $\vec{a}$, а в рівності стоїть $\vec{n}$. Розв'яжемо для рівності $\vec{k} + \vec{a} - \vec{p} = \vec{0}$.
$\vec{a} = \vec{p} - \vec{k}$:
$x = 4 - 2 = 2$;
$y = -9 - 5 = -14$.
Відповідь: $x = 2$, $y = -14$.
440. $ABCD$ — квадрат (мал. 39), $O$ — точка перетину його діагоналей, $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$, $\overrightarrow{DO} = \vec{d}$. Виразіть вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BC}$ через вектори $\vec{a}$ і $\vec{d}$.
Розв'язок:
В умові, ймовірно, друкарська помилка: квадрат $ABCD$ зображено на малюнку 49, а не 39.
Діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл, тому $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO} = \vec{d}$ і $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AO} = \vec{a}$ (вектори однаково напрямлені й мають рівні довжини).
За правилом трикутника:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \vec{a} + \vec{d}$;
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} =$
$= -\vec{d} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{d}$.
Відповідь: $\overrightarrow{AB} = \vec{a} + \vec{d}$;
$\overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{d}$.
441. $ABCD$ — ромб (мал. 50), $O$ — точка перетину його діагоналей, $\overrightarrow{BO} = \vec{b}$, $\overrightarrow{CO} = \vec{c}$. Виразіть вектори $\overrightarrow{CD}$ і $\overrightarrow{DA}$ через вектори $\vec{b}$ і $\vec{c}$.
Розв'язок:
Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл, тому $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BO} = \vec{b}$ і $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO} = \vec{c}$.
За правилом трикутника:
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OD} = \vec{c} + \vec{b}$;
$\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OA} =$
$= -\vec{b} + \vec{c} = \vec{c} - \vec{b}$.
Відповідь: $\overrightarrow{CD} = \vec{c} + \vec{b}$;
$\overrightarrow{DA} = \vec{c} - \vec{b}$.