Завдання № 9 ДР-2 [3М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 21)

Тема: Вектори на площині

Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $MNKL$ з вершинами в точках $M(6;2)$, $N(8;8)$, $K(6;14)$ і $L(4;8)$ — ромб.

Розв’язок:

1) Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{MN}$ і $\overrightarrow{LK}$:

$\overrightarrow{MN}(8-6;8-2)$, тобто $\overrightarrow{MN}(2;6)$;

$\overrightarrow{LK}(6-4;14-8)$, тобто $\overrightarrow{LK}(2;6)$.

Відповідні координати векторів рівні, тому $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{LK}$. Отже, $MN \parallel LK$ і $MN=LK$, тобто протилежні сторони $MN$ і $LK$ чотирикутника $MNKL$ паралельні й рівні. Тому $MNKL$ — паралелограм.

2) Знайдемо довжини сусідніх сторін $MN$ і $ML$ як модулі векторів $\overrightarrow{MN}$ і $\overrightarrow{ML}$:

$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10};$

$\overrightarrow{ML}(4-6;8-2)$, тобто $\overrightarrow{ML}(-2;6)$;

$|\overrightarrow{ML}|=\sqrt{(-2)^{2}+6^{2}}=$

$=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$

Отже, $MN=ML$ — сусідні сторони паралелограма рівні.

Паралелограм, у якого сусідні сторони рівні, є ромбом. Тому чотирикутник $MNKL$ — ромб.

Що й треба було довести.