: Варіант 2 С-1 [1М]

Завдання № 4 С-1 [1М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 8)

Тема: Координатна площина. Синус, косинус, тангенс кутів від $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками

Доведіть, що чотирикутник $KLMN$ з вершинами в точках $K(-2;-5)$, $L(1;-2)$, $M(-3;2)$, $N(-6;-1)$ є прямокутником.

Розв’язок:

Відповідь до завдання № 4 С-1 Варіант 2 Самостійні та діагностичні роботи з Геометрії

Позначимо задані точки на координатній площині та проведемо діагоналі $KM$ і $LN$.

1) Знайдемо координати середин діагоналей за формулами $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$, $y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$.

Середина діагоналі $KM$:

$x_{0}=\frac{-2+(-3)}{2}=-2{,}5$; $y_{0}=\frac{-5+2}{2}=-1{,}5$.

Середина діагоналі $LN$:

$x_{0}=\frac{1+(-6)}{2}=-2{,}5$; $y_{0}=\frac{-2+(-1)}{2}=-1{,}5$.

Середини діагоналей збігаються — це точка $(-2{,}5;-1{,}5)$. Отже, діагоналі чотирикутника $KLMN$ точкою перетину діляться навпіл, а тому $KLMN$ — паралелограм.

2) Знайдемо довжини діагоналей за формулою відстані між двома точками $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

$KM=\sqrt{(-3-(-2))^{2}+(2-(-5))^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2};$

$LN=\sqrt{(-6-1)^{2}+(-1-(-2))^{2}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$

Отже, $KM=LN$ — діагоналі паралелограма рівні.

Паралелограм, діагоналі якого рівні, є прямокутником. Тому чотирикутник $KLMN$ — прямокутник.

Що й треба було довести.