Завдання № 4 С-1 [1М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 9)

Тема: Координатна площина. Синус, косинус, тангенс кутів від $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками

Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(1;-2)$, $B(4;1)$, $C(0;5)$, $D(-3;2)$ є прямокутником.

Розв’язок:

Позначимо задані точки на координатній площині та проведемо діагоналі $AC$ і $BD$.

1) Знайдемо координати середин діагоналей за формулами $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$, $y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$.

Середина діагоналі $AC$:

$x_{0}=\frac{1+0}{2}=0{,}5$; $y_{0}=\frac{-2+5}{2}=1{,}5$.

Середина діагоналі $BD$:

$x_{0}=\frac{4+(-3)}{2}=0{,}5$; $y_{0}=\frac{1+2}{2}=1{,}5$.

Середини діагоналей збігаються — це точка $(0{,}5;1{,}5)$. Отже, діагоналі чотирикутника $ABCD$ точкою перетину діляться навпіл, а тому $ABCD$ — паралелограм.

2) Знайдемо довжини діагоналей за формулою відстані між двома точками $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

$AC=\sqrt{(0-1)^{2}+(5-(-2))^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2};$

$BD=\sqrt{(-3-4)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$

Отже, $AC=BD$ — діагоналі паралелограма рівні.

Паралелограм, діагоналі якого рівні, є прямокутником. Тому чотирикутник $ABCD$ — прямокутник.

Що й треба було довести.