Нерівність зі змінною: що таке розв'язок нерівності і чим він відрізняється від кореня рівняння — алгебра 9 клас

Ти навчишся перевіряти, чи є число розв'язком нерівності, добирати розв'язки й шукати всі цілі розв'язки. А ще — розв'язувати нерівності з квадратом, де розв'язків немає, безліч або лише один.

Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Що таке розв'язок нерівності

Подивись на нерівність $3x-2\gt 7$. У ній є змінна $x$, тому це нерівність зі змінною. Поки замість $x$ не стоїть число, вона ні правильна, ні неправильна.

Підставимо замість $x$ два числа:

1)	$x=5$: $3\cdot 5-2=13$;
	$13\gt 7$ — правильна.
2)	$x=1$: $3\cdot 1-2=1$;
	$1\gt 7$ — неправильна.

Кажуть: число 5 є розв'язком нерівності $3x-2\gt 7$, або 5 задовольняє цю нерівність. А число 1 не є її розв'язком: воно не задовольняє нерівність.

Чим розв'язок нерівності відрізняється від кореня рівняння

Порівняй рівняння $3x-2=7$ і нерівність $3x-2\gt 7$. Рівняння має один корінь — 3: $3\cdot 3-2=7$.

У нерівності розв'язків безліч. Підходять 4, 10, 100, навіть 3,5 чи $3\frac{1}{3}$. З кожним із них ліва частина більша за 7.

Число 3 розв'язком не є, бо $7\gt 7$ — неправильна нерівність.

А от для нестрогої нерівності $3x-2\geqslant 7$ число 3 підходить: $7\geqslant 7$ — правильна. Тому завжди дивись, строгий знак чи нестрогий.

Розв'язані приклади

Нерівності з квадратом

Такі нерівності розв'язують без перетворень, одним міркуванням. Воно спирається на вже відомий факт: квадрат будь-якого числа невід'ємний.

Як перевірити себе

1. Відповідь «будь-яке число, крім 4». Підстав саме 4 і ще одне число. Наприклад, у нерівності $(x-4)^2\gt 0$ за $x=4$ маємо $0\gt 0$ — неправильна, а за $x=0$ — $16\gt 0$, правильна.
2. Відповідь «немає розв'язків». Підстав кілька різних чисел: від'ємне, 0 і додатне. Жодне не має підійти. Наприклад, у нерівності $\frac{x+4}{x+4}\gt 3$ дріб дорівнює 1 за будь-якого дозволеного $x$, а $1\gt 3$ — неправильна.
3. Натуральні чи цілі розв'язки. Перевір межі й сусідні числа. Наприклад, у нерівності $2\frac{3}{4}\lt x\leqslant 7$ число 7 підходить ($7\leqslant 7$), а 8 — ні. 3 підходить, а 2 — ні, бо $2\lt 2\frac{3}{4}$.
4. Дріб зі змінною. Перевір, чи не потрапило у відповідь число, за якого знаменник дорівнює нулю.

Де найчастіше помиляються

1. Загубили межу нестрогої нерівності

Завдання: знайти натуральні розв'язки нерівності $4{,}2\lt x\leqslant 8$.

Що сталося: знак «$\leqslant$» означає «менше або дорівнює». Число 8 теж підходить: $8\leqslant 8$.

Як помітити: підстав межу. Якщо знак нестрогий, вона завжди входить у відповідь.

2. Забули про число, за якого квадрат дорівнює нулю

Завдання: розв'язати нерівність $(x-8)^2\gt 0$.

Що сталося: квадрат не від'ємний, але може дорівнювати нулю. Знак «$\gt$» строгий, тому $0\gt 0$ не підходить.

Як помітити: підстав $x=8$: $(8-8)^2=0$, а $0\gt 0$ — неправильна.

3. Не врахували знак дробу

Завдання: знайти цілі розв'язки нерівності $\frac{12}{x}\lt -5$.

Що сталося: учень шукав, коли $\frac{12}{x}$ більше за 5, і забув про мінус. Дріб, менший від −5, від'ємний, тож $x\lt 0$. $\frac{12}{-1}=-12$ і $\frac{12}{-2}=-6$ підходять, а $\frac{12}{-3}=-4$ — уже ні.

Як помітити: підстав $x=1$: $\frac{12}{1}=12$, а $12\lt -5$ — неправильна.

4. Забули, що знаменник не дорівнює нулю

Завдання: розв'язати нерівність $\frac{x-1}{x-1}\geqslant 0{,}3$.

Що сталося: за $x=1$ знаменник дорівнює нулю. Вираз $\frac{0}{0}$ не має значення, тож 1 не є розв'язком.

Як помітити: у кожній нерівності з дробом спершу запиши, чому не може дорівнювати $x$.

Гра «Знайди пару»

Кожній нерівності відповідає один опис її розв'язків. Знайди пари, не підставляючи багато чисел: досить міркувань із прикладів 3, 6 і 7. Відповідь запиши парами «буква — номер».

Нерівності

А	$x^2+4\lt 0$
Б	$(x-3)^2\gt 0$
В	$\sqrt{x}\geqslant 0$
Г	$(x+1)^2\leqslant 0$
Д	$x^2+1\gt 0$

Описи розв'язків

1. Усі числа.
2. Жодного числа.
3. Лише число −1.
4. Усі числа, крім 3.
5. Усі невід'ємні числа.

Перевірити пари

А — 2: $x^2+4\geqslant 4$, тому менше від нуля не буває. Б — 4: квадрат дорівнює нулю лише за $x=3$. В — 5: корінь існує для $x\geqslant 0$ і завжди невід'ємний. Г — 3: квадрат не від'ємний, тож лише $(x+1)^2=0$. Д — 1: $x^2+1\geqslant 1$.

Спробуй сам

1. Чи є розв'язком нерівності $x\lt -1$ числа: 1) −4; 2) −1; 3) 0; 4) −1,2?
2. Які з чисел −3; −1; 0; 2; 4 є розв'язками нерівності $x^2+x\geqslant 3x+8$?
3. Запиши три розв'язки нерівності $\sqrt{x-2}\gt 3$.
4. Знайди всі натуральні розв'язки нерівності $-2\lt x\leqslant 3\frac{1}{2}$.
5. Знайди всі цілі розв'язки нерівності: 1) $\frac{14}{x}\gt 4$; 2) $-\frac{10}{x}\gt 3$.
6. Розв'яжи нерівність: 1) $(x+6)^2\geqslant 0$; 2) $(x-7)^2\leqslant 0$; 3) $x^2+2\leqslant 0$; 4) $-(x+1)^2\lt 0$.
7. Розв'яжи нерівність: 1) $\frac{x-6}{x-6}\geqslant 1$; 2) $\frac{(x-2)^2}{x}\gt 0$.

Перевірити відповіді

1. 1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) так.
2. −3; 4.
3. Наприклад, 18; 27; 38.
4. 1; 2; 3.
5. 1) 1; 2; 3; 2) −1; −2; −3.
6. 1) Будь-яке число; 2) $x=7$; 3) немає розв'язків; 4) будь-яке число, крім −1.
7. 1) Будь-яке число, крім 6; 2) будь-яке додатне число, крім 2.

Повне розв'язання завдання 5 (2)

	$-\dfrac{10}{x}\gt 3$; $x\ne 0$;
	$x=-1$: $-\dfrac{10}{-1}=10\gt 3$;
	$x=-2$: $-\dfrac{10}{-2}=5\gt 3$;
	$x=-3$: $-\dfrac{10}{-3}=3\dfrac{1}{3}\gt 3$;
	$x=-4$: $-\dfrac{10}{-4}=2{,}5$ — ні.

Вираз $-\frac{10}{x}$ має бути додатним, тому $x$ — від'ємне число. Для −5, −6, … значення ще менші: 2; $1\frac{2}{3}$; …

Повне розв'язання завдання 7 (2)

	$\dfrac{(x-2)^2}{x}\gt 0$; $x\ne 0$;
	$x=2$: $\dfrac{0}{2}=0$; $0\gt 0$ — ні;
	$x\ne 2$: $(x-2)^2\gt 0$, потрібно $x\gt 0$;
	будь-яке додатне число, крім 2.

Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найімовірніше, загубилася межа нестрогої нерівності або число, за якого квадрат чи знаменник дорівнює нулю.

Для батьків