Рівняння кола: як скласти, знайти центр і радіус і перевірити точку — геометрія 9 клас

Приклад 1. Які з рівнянь є рівняннями кола

З'ясуємо, які з п'яти рівнянь задають коло.

1. 1)У рівнянні кола квадрати виразів з $x$ і $y$ додаються. У пункті 3 їх віднімають, тому це не коло.
2. 2)Дужок може й не бути: коли координата центра дорівнює 0, лишається $x^2$ або $y^2$, як у пункті 2.
3. 3)Обидві змінні мають бути в другому степені. У пункті 4 змінна $y$ — у четвертому.
4. 4)Права частина — це $r^2$, тому вона додатна. У пункті 5 квадрат відстані не може дорівнювати −9.
5. 5)У пункті 2 права частина 10 — не квадрат цілого числа. Це не заважає: радіус дорівнює $\sqrt{10}$.

Відповідь: кола задають рівняння 1) і 2).

Приклад 2. Знайди центр і радіус кола за рівнянням

Знайдемо координати центра й радіус чотирьох кіл.

1. 1)Проміжний рядок із мінусом у дужках пишемо завжди. Він одразу показує потрібний знак: із $(y+2)^2$ виходить ордината −2.
2. 2)Якщо змінна стоїть без дужки, як $x^2$ у пункті 2, то відповідна координата центра дорівнює 0.
3. 3)Права частина — квадрат радіуса. З 81 маємо $r=9$, бо $9^2=81$.
4. 4)У пункті 3 число 3 не є квадратом цілого числа, тому радіус записуємо коренем: $r=\sqrt{3}$.

Відповідь: 1) $Q(6; -2)$, $r=9$; 2) $Q(0; 7)$, $r=2$; 3) $Q(-1; 0)$, $r=\sqrt{3}$; 4) $Q(0; 0)$, $r=6$.

Приклад 3. Склади рівняння кола за центром і радіусом або діаметром

Складемо рівняння чотирьох кіл. Для двох із них дано діаметр $d$.

1. 1)Підставляємо координати центра у формулу $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Для $b=-5$ дужка $(y-(-5))^2$ перетворюється на $(y+5)^2$.
2. 2)Нульову координату не пишемо: замість $(x-0)^2$ лишаємо $x^2$.
3. 3)У правій частині стоїть квадрат радіуса: $4^2=16$, $6^2=36$.
4. 4)Діаметр удвічі більший за радіус, тому в пункті 3 радіус дорівнює 5.
5. 5)У пункті 4 зручніше одразу шукати $r^2$. Оскільки $r=\frac{d}{2}$, то $r^2=\frac{d^2}{4}$, а $d^2=20$.

Відповідь: 1) $(x-2)^2+(y+5)^2=16$; 2) $x^2+(y-3)^2=36$; 3) $(x+4)^2+y^2=25$; 4) $(x-1)^2+(y+1)^2=5$.

Приклад 4. Перевір, чи лежить точка на колі

1) Чи належать колу $x^2+y^2=25$ точки $A(4; 3)$, $B(-2; 4)$, $C(5; 1)$?

2) Чи проходить коло $(x-2)^2+(y+1)^2=16$ через точки $M(6; -1)$ і $N(-1; 1)$?

1. 1)Підставляємо координати точки в ліву частину рівняння й обчислюємо.
2. 2)Здобуте число порівнюємо з правою частиною, тобто з $r^2$.
3. 3)Числа збіглися — точка лежить на колі. Здобуте число менше — точка всередині круга, більше — поза кругом.
4. 4)Від'ємну координату беремо в дужки: $(-2)^2=4$.

Відповідь: 1) $A$ — на колі, $B$ — усередині круга, $C$ — поза кругом; 2) через $M$ проходить, через $N$ — ні.

Приклад 5. Склади рівняння за центром і точкою або за діаметром

1) Складемо рівняння кола із центром $Q(-2; 3)$, яке проходить через точку $M(2; 6)$.

2) Складемо рівняння кола, для якого відрізок $AB$ є діаметром, якщо $A(1; 2)$, $B(7; 4)$.

1. 1)Точка $M$ лежить на колі, тому $QM$ — радіус. Шукаємо одразу $r^2$: корінь добувати не треба, бо в рівнянні стоїть саме $r^2$.
2. 2)Центр кола — середина діаметра. Координати середини відрізка знаходимо за формулами з § 3.
3. 3)Радіусом у пункті 2 є будь-який з відрізків $QA$ і $QB$. Беремо $QA$.
4. 4)Перевіряємо: підставимо $B(7; 4)$ у здобуте рівняння. $(7-4)^2+(4-3)^2=9+1=10$ — правильно.

Відповідь: 1) $(x+2)^2+(y-3)^2=25$; 2) $(x-4)^2+(y-3)^2=10$.

Приклад 6. Побудуй коло за рівнянням

Побудуємо на координатній площині коло $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.

Коло з центром Q(1; −2) і радіусом 3.

1. 1)Читаємо за рівнянням центр і радіус.
2. 2)Позначаємо центр $Q(1; -2)$ на площині.
3. 3)Відкладаємо від центра 3 клітинки праворуч, ліворуч, угору і вниз. Дістаємо точки $A(4; -2)$, $B(-2; -2)$, $C(1; 1)$, $D(1; -5)$.
4. 4)Ставимо вістря циркуля в центр, розхил — 3 клітинки, і проводимо коло через ці чотири точки.

Відповідь: коло з центром $Q(1; -2)$ і радіусом 3.

Приклад 7. Знайди точки кола з даною абсцисою і точки на осях

На колі $x^2+y^2=25$ знайдемо точки: 1) з абсцисою 3; 2) які лежать на осі абсцис; 3) які лежать на осі ординат.

Точки з абсцисою 3 і точки перетину кола з осями.

1. 1)Відому координату підставляємо в рівняння. Друга координата стає невідомою.
2. 2)Рівняння $y^2=16$ має два корені: 4 і −4. Тому точок теж дві.
3. 3)На осі абсцис ордината дорівнює 0, а на осі ординат абсциса дорівнює 0.
4. 4)Точки перетину з осями лежать на відстані радіуса від центра. Тут центр — початок координат, тому це 5 і −5.

Відповідь: 1) (3; 4) і (3; −4); 2) (5; 0) і (−5; 0); 3) (0; 5) і (0; −5).

Приклад 8. Знайди центр і радіус, коли в рівнянні немає дужок

1) Знайдемо центр і радіус кола $x^2+y^2-6x+4y-12=0$.

2) Знайдемо відстань між центрами кіл $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ і $x^2+y^2+2x-2y-7=0$.

1. 1)Збираємо окремо доданки з $x$ і окремо з $y$.
2. 2)До $x^2-6x$ бракує числа 9, щоб дістати квадрат різниці: $(x-3)^2=x^2-6x+9$. Додаємо 9 всередині дужки й одразу віднімаємо його зовні.
3. 3)Так само з $y$: $(y+2)^2=y^2+4y+4$, тому віднімаємо 4.
4. 4)Числа −9, −4 і −12 переносимо в праву частину: $9+4+12=25$.
5. 5)Права частина 25 — це $r^2$, тому $r=5$.

Друге коло зводимо так само:

1. 1)Вільні числа другого рівняння: $-1-1-7=-9$. Тому праворуч стоїть 9.
2. 2)Центри знайдено, далі працює формула відстані між двома точками.
3. 3)Радіуси для цього завдання не потрібні, але їх легко побачити: 5 і 3.

Відповідь: 1) $Q(3; -2)$, $r=5$; 2) 5.

Приклад 9. Центр лежить на осі або на бісектрисі координатного кута

1) Складемо рівняння кола радіуса 13, яке проходить через точку $A(5; 12)$, а його центр лежить на осі ординат.

2) Складемо рівняння кола радіуса 5, яке проходить через точку $B(5; 6)$, а його центр лежить на бісектрисі першого координатного кута.

1. 1)На осі ординат абсциса дорівнює 0, тому центр має вигляд $Q(0; b)$.
2. 2)Точка $A$ лежить на колі, тому $QA^2=r^2=169$. Це рівняння з однією невідомою $b$.
3. 3)Рівність $(12-b)^2=144$ дає два випадки: $12-b=12$ і $12-b=-12$.
4. 4)Обидва значення $b$ підходять, тому відповідей теж дві. Обидва центри лежать на осі ординат.

1. 1)Бісектриса першого координатного кута — це промінь, де абсциса й ордината рівні й невід’ємні. Тому центр має вигляд $Q(a; a)$, де $a\geqslant 0$.
2. 2)Розкриваємо дужки: $25-10a+a^2+36-12a+a^2=25$. Зводимо подібні доданки й ділимо все на 2.
3. 3)Квадратне рівняння дає два корені, тому кіл теж два.
4. 4)Обидва корені додатні, тому обидва центри лежать саме на бісектрисі першого кута.
5. 5)Перевіряємо друге коло: $(5-9)^2+(6-9)^2=16+9=25$ — точка $B$ на ньому лежить.

Відповідь: 1) $x^2+y^2=169$ або $x^2+(y-24)^2=169$; 2) $(x-2)^2+(y-2)^2=25$ або $(x-9)^2+(y-9)^2=25$.

Приклад 10. З'ясуй взаємне розташування двох кіл

З'ясуємо, як розташовані три пари кіл.

Кола з пункту 1 дотикаються в точці T(1; 1): відстань між центрами дорівнює сумі радіусів.

1. 1)Спочатку за рівняннями читаємо центри й радіуси.
2. 2)Знаходимо відстань $d$ між центрами. У всіх трьох пунктах центри мають однакову ординату, тому $d$ — різниця абсцис.
3. 3)Порівнюємо $d$ із сумою і різницею радіусів.

Відповідь: 1) дотикаються; 2) перетинаються у двох точках; 3) спільних точок немає.