№ 3.39 Алгебра = № 8.39 Математика
(Українська математична олімпіада, 1962 р.) Знайдіть значення виразу $a^{3}+b^{3}+3(a^{3}b+ab^{3})+6(a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3})$, де $a$ і $b$ — корені рівняння $x^{2}-x+q=0$.
Розв’язок:
Рівняння має корені, якщо $D=1-4q\geq0$, тобто $q\leq\frac{1}{4}$. За теоремою Вієта маємо: $a+b=1$, $ab=q$.
Спростимо вираз:
$a^{3}+b^{3}+3(a^{3}b+ab^{3})+6(a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3})=$
$=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})+3ab(a^{2}+b^{2})+6a^{2}b^{2}(a+b)=$
$=(a+b)((a+b)^{2}-3ab)+3ab((a+b)^{2}-2ab)+6a^{2}b^{2}(a+b)=$
$=1\cdot(1-3q)+3q(1-2q)+6q^{2}(1)=$
$=1-3q+3q-6q^{2}+6q^{2}=1$.