№ 7.42 Алгебра = № 12.42 Математика
(Національна олімпіада США, 1979 р.) Розв’яжіть рівняння $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\ldots+x_{14}^{4}=1599$ у цілих числах.
Розв’язок:
Розглянемо остачу від ділення четвертого степеня цілого числа на $16$.
Будь-яке ціле число $x$ можна подати у вигляді $2k$ або $2k+1$.
Якщо $x=2k$, то $x^{4}=16k^{4}$, отже $x^{4}\equiv0\ (mod\ 16)$.
Якщо $x=2k+1$,
то $x^{2}=4k^{2}+4k+1=$
$=4k(k+1)+1$.
Оскільки $k(k+1)$ — парне число, то $x^{2}=8m+1$.
Тоді $x^{4}=(8m+1)^{2}=$
$=64m^{2}+16m+1$,
отже $x^{4}\equiv1\ (mod\ 16)$.
Таким чином, $x_{i}^{4}$ при діленні на $16$ може давати остачу $0$ або $1$.
Нехай серед чисел $x_{1},x_{2},\ldots,x_{14}$ рівно $n$ чисел є непарними. Тоді сума $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+\ldots+x_{14}^{4}$ при діленні на $16$ дає остачу $n$.
Маємо:
$1599=16\cdot99+15$
Отже, $1599\equiv15\ (mod\ 16)$.
Це означає, що серед чисел $x_{1},\ldots,x_{14}$ має бути рівно $15$ непарних чисел.
Але за умовою всього $14$ чисел. Отримали суперечність.
Відповідь:
Рівняння не має розв’язків у цілих числах.