№ 7.42 Алгебра = № 12.42 Математика
(Національна олімпіада США, 1979 р.) Розв’яжіть рівняння $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\ldots+x_{14}^{4}=1599$ у цілих числах.
Розв’язок:
Розглянемо остачі від ділення четвертих степенів цілих чисел на $16$.
Будь-яке ціле число $x$ можна подати у вигляді $2k$ або $2k+1$, де $k$ — ціле число.
Якщо $x=2k$, то $x^{4}=16k^{4}$, тобто $x^{4}$ ділиться на $16$ (остача $0$).
Якщо $x=2k+1$, то
$x^{2}=4k^{2}+4k+1=4k(k+1)+1.$
Добуток $k(k+1)$ двох послідовних цілих чисел — парне число, тобто $k(k+1)=2m$, де $m$ — ціле число. Тоді $x^{2}=8m+1$ і
$x^{4}=(8m+1)^{2}=64m^{2}+16m+1=$
$=16\left( 4m^{2}+m \right)+1,$
тобто $x^{4}$ при діленні на $16$ дає остачу $1$.
Нехай серед чисел $x_{1},x_{2},\ldots,x_{14}$ рівно $n$ непарних, $0\leq n\leq14$. Тоді сума $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+\ldots+x_{14}^{4}$ при діленні на $16$ дає остачу $n$.
Але $1599=16\cdot99+15$, тобто число $1599$ при діленні на $16$ дає остачу $15$.
Тоді $n=15$, що неможливо, бо $n\leq14$.
Відповідь:
Рівняння не має розв’язків у цілих числах.