№ 27 ВПР 1 Алгебра = № 27 ВПТ 2 Математика
Доведіть нерівність:
1) $(x+2y)\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y} \right)\geq4$, якщо $x>0$, $y>0$;
2) $\left( \frac{1}{m^{2}}+pn \right)\left( \frac{4}{p^{2}}+mn \right)\left( \frac{9}{n^{2}}+pm \right)\geq48$, якщо $m>0$, $n>0$, $p>0$.
Розв’язок:
1) Застосуємо теорему Коші до кожного множника в лівій частині нерівності:
$\frac{x+2y}{2}\geq\sqrt{2xy}$; $\frac{\frac{1}{2x}+\frac{1}{y}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{2x}\cdot\frac{1}{y}}$
або $x+2y\geq2\sqrt{2xy}$; $\frac{1}{2x}+\frac{1}{y}\geq2\sqrt{\frac{1}{2xy}}$.
Перемножимо почленно ці нерівності:
$(x+2y)\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y} \right)\geq2\sqrt{2xy}\cdot2\sqrt{\frac{1}{2xy}}$
$(x+2y)\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y} \right)\geq4\sqrt{2xy\cdot\frac{1}{2xy}}$
$(x+2y)\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y} \right)\geq4$
що й треба було довести.
2) Застосуємо теорему Коші до кожного множника лівої частини нерівності:
$\frac{\frac{1}{m^{2}}+pn}{2}\geq\sqrt{\frac{pn}{m^{2}}}$; $\frac{\frac{4}{p^{2}}+mn}{2}\geq\sqrt{\frac{4mn}{p^{2}}}$; $\frac{\frac{9}{n^{2}}+pm}{2}\geq\sqrt{\frac{9pm}{n^{2}}}$
або $\frac{1}{m^{2}}+pn\geq2\sqrt{\frac{pn}{m^{2}}}$; $\frac{4}{p^{2}}+mn\geq2\sqrt{\frac{4mn}{p^{2}}}$; $\frac{9}{n^{2}}+pm\geq2\sqrt{\frac{9pm}{n^{2}}}$.
Перемножимо почленно ці нерівності:
$\left( \frac{1}{m^{2}}+pn \right)\left( \frac{4}{p^{2}}+mn \right)\left( \frac{9}{n^{2}}+pm \right)\geq8\sqrt{\frac{pn}{m^{2}}\cdot\frac{4mn}{p^{2}}\cdot\frac{9pm}{n^{2}}}$
$\left( \frac{1}{m^{2}}+pn \right)\left( \frac{4}{p^{2}}+mn \right)\left( \frac{9}{n^{2}}+pm \right)\geq8\sqrt{\frac{36p^{2}m^{2}n^{2}}{m^{2}p^{2}n^{2}}}$
$\left( \frac{1}{m^{2}}+pn \right)\left( \frac{4}{p^{2}}+mn \right)\left( \frac{9}{n^{2}}+pm \right)\geq8\cdot6=48$
що й треба було довести.