№ 27 ВПР 1 Алгебра = № 27 ВПТ 2 Математика
Доведіть нерівність:
1) $(x+2y)\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y} \right)\geq4$, якщо $x>0$, $y>0$;
2) $\left( \frac{1}{m^{2}}+pn \right)\left( \frac{4}{p^{2}}+mn \right)\left( \frac{9}{n^{2}}+pm \right)\geq48$, якщо $m>0$, $n>0$, $p>0$.
Розв’язок:
1) Оскільки $x>0$ і $y>0$, то $x$, $2y$, $\frac{1}{2x}$, $\frac{1}{y}$ — додатні числа. Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\frac{x+2y}{2}\geq\sqrt{2xy};$
$\frac{\frac{1}{2x}+\frac{1}{y}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{2x}\cdot\frac{1}{y}}.$
Обидві частини кожної із цих нерівностей за властивістю 4 помножимо на $2$:
$x+2y\geq2\sqrt{2xy};$
$\frac{1}{2x}+\frac{1}{y}\geq2\sqrt{\frac{1}{2xy}}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{x+2y\geq2\sqrt{2xy}}{\frac{1}{2x}+\frac{1}{y}\geq2\sqrt{\frac{1}{2xy}}}$
$\overline{(x+2y)\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y} \right)\geq4\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{\frac{1}{2xy}}}$
Оскільки $4\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{\frac{1}{2xy}}=4\sqrt{1}=4$, то
$(x+2y)\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y} \right)\geq4,$
що й треба було довести.
2) Оскільки $m>0$, $n>0$, $p>0$, то всі доданки в дужках — додатні числа. Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\frac{\frac{1}{m^{2}}+pn}{2}\geq\sqrt{\frac{pn}{m^{2}}};$
$\frac{\frac{4}{p^{2}}+mn}{2}\geq\sqrt{\frac{4mn}{p^{2}}};$
$\frac{\frac{9}{n^{2}}+pm}{2}\geq\sqrt{\frac{9pm}{n^{2}}}.$
Обидві частини кожної із цих нерівностей за властивістю 4 помножимо на $2$:
$\frac{1}{m^{2}}+pn\geq2\sqrt{\frac{pn}{m^{2}}};$
$\frac{4}{p^{2}}+mn\geq2\sqrt{\frac{4mn}{p^{2}}};$
$\frac{9}{n^{2}}+pm\geq2\sqrt{\frac{9pm}{n^{2}}}.$
Позначимо ліву частину нерівності, яку доводимо, через $A$ і перемножимо ці три нерівності почленно:
$\times\begin{matrix} \frac{1}{m^{2}}+pn\geq2\sqrt{\frac{pn}{m^{2}}} \\ \frac{4}{p^{2}}+mn\geq2\sqrt{\frac{4mn}{p^{2}}} \\ \frac{9}{n^{2}}+pm\geq2\sqrt{\frac{9pm}{n^{2}}} \end{matrix}$
$\overline{A\geq8\sqrt{\frac{pn}{m^{2}}\cdot\frac{4mn}{p^{2}}\cdot\frac{9pm}{n^{2}}}}$
Оскільки
$\frac{pn}{m^{2}}\cdot\frac{4mn}{p^{2}}\cdot\frac{9pm}{n^{2}}=\frac{36m^{2}n^{2}p^{2}}{m^{2}n^{2}p^{2}}=36,$
то $A\geq8\sqrt{36}=48$, що й треба було довести.