№ 63 ВПР 1 Алгебра = № 63 ВПТ 2 Математика
Знайдіть, за яких значень $a$ обидва корені квадратного рівняння $6x^{2}+(5a+2)x+(a^{2}+a)=0$ належать проміжку $\lbrack-4;0\rbrack$.
Розв’язок:
$6x^{2}+(5a+2)x+(a^{2}+a)=0$.
Дискримінант рівняння:
$D=(5a+2)^{2}-4\cdot6\cdot(a^{2}+a)=$
$=25a^{2}+20a+4-24a^{2}-24a=$
$=a^{2}-4a+4=(a-2)^{2}$.
Корені рівняння:
$x_{1}=\frac{-(5a+2)-(a-2)}{12}=$
$=\frac{-5a-2-a+2}{12}=$
$=\frac{-6a}{12}=-\frac{a}{2}$
$x_{2}=\frac{-(5a+2)+(a-2)}{12}=$
$=\frac{-5a-2+a-2}{12}=$
$=\frac{-4a-4}{12}=-\frac{a+1}{3}$
За умовою обидва корені належать $\lbrack-4;0\rbrack$, тому:
$\begin{cases}-4\leq-\frac{a}{2}\leq0 \\-4\leq-\frac{a+1}{3}\leq0 \end{cases}$
Розв’яжемо першу нерівність:
$-4\leq-\frac{a}{2}\leq0 \Longrightarrow 0\leq\frac{a}{2}\leq4 \Longrightarrow 0\leq a\leq8$
Розв’яжемо другу нерівність:
$-4\leq-\frac{a+1}{3}\leq0 \Longrightarrow 0\leq\frac{a+1}{3}\leq4 \Longrightarrow 0\leq a+1\leq12 \Longrightarrow-1\leq a\leq11$
Знайдемо перетин отриманих проміжків:
$\lbrack 0;8\rbrack \cap \lbrack-1;11\rbrack=\lbrack 0;8\rbrack$
Відповідь:
$0\leq a\leq8$.