№ 11.55 Алгебра = № 21.55 Математика
На яке натуральне число слід поділити число 180, щоб остача від ділення становила 25 % від частки?
Розв’язок:
Нехай $x$ — дільник, $q$ — частка, $r$ — остача. Тоді:
$180=x\cdot q+r$
За умовою $r=0{,}25q$, тобто $q=4r$. Тоді
$180=x\cdot4r+r=r(4x+1).$
Якщо $r=0$, то $q=0$ і $x\cdot q+r=0\neq180$. Отже, $r$ — натуральне число, а $4x+1$ — дільник числа $180$, більший за $1$, який при діленні на $4$ дає остачу $1$.
Дільники числа $180$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $9$, $10$, $12$, $15$, $18$, $20$, $30$, $36$, $45$, $60$, $90$, $180$. З них підходять $5$, $9$ і $45$:
якщо $4x+1=5$, то $x=1$, $r=36$;
якщо $4x+1=9$, то $x=2$, $r=20$;
якщо $4x+1=45$, то $x=11$, $r=4$.
Остача має бути меншою від дільника ($r<x$), тому підходить лише $x=11$.
Перевірка: $180=11\cdot16+4$, $4=0{,}25\cdot16$.
Відповідь:
На 11.