№ 12.54 Алгебра = № 26.54 Математика
Відомо, що числа $a$, $b$ і $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ є раціональними. Чи можна стверджувати, що числа $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ теж раціональні?
Розв’язок:
Так. Розглянемо добуток:
$\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)=$
$=a-b$
Якщо $\sqrt{a}+\sqrt{b}=0$, то
$\sqrt{a}=\sqrt{b}=0$ (арифметичні квадратні корені невід’ємні) — числа раціональні.
Якщо $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq0$, то
$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
— число раціональне як частка двох раціональних чисел.
Сума двох раціональних чисел:
$\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})=$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{b}+\frac{1}{2}\sqrt{a}-\frac{1}{2}\sqrt{b}=\sqrt{a}$
— число раціональне, їх різниця:
$\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})=$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{b}-\frac{1}{2}\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{b}=\sqrt{b}$
— теж число раціональне.
Відповідь:
Так.