№ 13.33 Алгебра = № 27.33 Математика
(Київська математична олімпіада, 1989 р.) Нехай $a,b,c$ — додатні числа. Доведіть, що
$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Розв’язок:
Скористаємося нерівністю $\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}\leq\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)$.
Доведемо її:
$\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)-\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=$
$=\frac{a+b}{2ab}-\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=$
$=(a+b)\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{2ab\left( a^{2}+b^{2} \right)}=$
$=\frac{(a+b)(a-b)^{2}}{2ab(a^{2}+b^{2})}$
Оскільки $a,b>0$, то вираз $\frac{(a+b)(a-b)^{2}}{2ab(a^{2}+b^{2})}\geq0$, отже нерівність справджується.
Аналогічно маємо:
$\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}\leq\frac{1}{2}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$
$\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$
Додамо ці три нерівності:
$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a+c}{a^{2}+c^{2}}\leq\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)=$
$=\frac{1}{2}\cdot2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)=$
$=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Що й треба було довести.