№ 14.34 Алгебра = № 28.34 Математика
Спростіть вираз:
$2026\cdot(2027^{9}+2027^{8}+2027^{7}+\ldots+2027^{2}+2028)+1$
Розв’язок:
Позначимо $a=2027$.
Тоді $2026=a-1$, $2028=a+1$, і сума в дужках дорівнює
$S=a^{9}+a^{8}+\ldots+a^{2}+a+1.$
Помножимо суму $S$ на $a$:
$aS=a^{10}+a^{9}+\ldots+a^{2}+a=$
$=a^{10}+(S-1).$
Звідси $aS-S=a^{10}-1$,
тобто $(a-1)S=a^{10}-1$.
Отже, значення виразу:
$2026\cdot S+1=(a-1)S+1=$
$=a^{10}-1+1=a^{10}=2027^{10}.$
Відповідь:
$2027^{10}$