Завдання № 8.20

№ 8.20 Алгебра = № 18.20 Математика

Знайдіть область визначення функції:

1) $f(x)=\frac{3}{x^{2}-4}$;

2) $g(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$;

3) $\phi(x)=\frac{4}{x^{2}+2x}$;

4) $\psi(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{3x+6}$;

5) $p(x)=\frac{5}{x^{2}-x-2}$;

6) $f(x)=\frac{2x}{|x|-4}$;

7) $g(x)=\frac{x}{|x|+1}$;

8) $f(x)=\frac{4}{|x+1|-2}$;

9) $f(x)=\sqrt{2x+6}$;

10) $f(x)=\frac{8}{\sqrt{2x-7}}$.

Розв’язок:

1) $f(x)=\frac{3}{x^{2}-4}$; $x^{2}-4\neq0$, $x\neq\pm2$

$D(f)=(-\infty;-2) \cup (-2;2) \cup (2;+\infty)$

2) $g(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$. Оскільки $x^{2}+1>0$ за будь-якого значення $x$, то $D(g)=(-\infty;+\infty)$.

3) $\phi(x)=\frac{4}{x^{2}+2x}$; $x^{2}+2x=0$, $x(x+2)=0$, $x=0$; $x+2=0$, $x=-2$

$D(\phi)=(-\infty;-2) \cup (-2;0) \cup (0;+\infty)$

4) $\psi(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{3x+6}$; $\frac{1}{x-1}$ має зміст для всіх $x$, крім $x=1$; $\frac{3}{3x+6}$ має зміст для всіх $x$, крім $x=-2$

Отже, $D(\psi)=(-\infty;-2) \cup (-2;1) \cup (1;+\infty)$

5) $p(x)=\frac{5}{x^{2}-x-2}$; $x^{2}-x-2\neq0$. Розв’яжемо рівняння $x^{2}-x-2=0$:

$D=1+8=9$

$x_{1}=\frac{1-3}{2}=-1$

$x_{2}=\frac{1+3}{2}=2$

Отже, $x\neq-1$ і $x\neq2$.

$D(p)=(-\infty;-1) \cup (-1;2) \cup (2;+\infty)$

6) $f(x)=\frac{2x}{|x|-4}$; $|x|-4=0$; $|x|=4$; $x=4$ або $x=-4$

$D(f)=(-\infty;-4) \cup (-4;4) \cup (4;+\infty)$

7) $g(x)=\frac{x}{|x|+1}$. Оскільки $|x|+1>0$ за будь-якого значення $x$, то $D(g)=(-\infty;+\infty)$.

8) $f(x)=\frac{4}{|x+1|-2}$; $|x+1|-2=0$; $|x+1|=2$;

$x+1=2$ або $x+1=-2$; $x=1$ або $x=-3$

$D(f)=(-\infty;-3) \cup (-3;1) \cup (1;+\infty)$

9) $f(x)=\sqrt{2x+6}$; $2x+6\geq0$, $2x\geq-6$, $x\geq-3$

$D(f)=\lbrack-3;+\infty)$

10) $f(x)=\frac{8}{\sqrt{2x-7}}$; $2x-7>0$, $2x>7$, $x>3{,}5$

$D(f)=(3{,}5;+\infty)$

Відповідь:

1) $(-\infty;-2) \cup (-2;2) \cup (2;+\infty)$;

2) $(-\infty;+\infty)$;

3) $(-\infty;-2) \cup (-2;0) \cup (0;+\infty)$;

4) $(-\infty;-2) \cup (-2;1) \cup (1;+\infty)$;

5) $(-\infty;-1) \cup (-1;2) \cup (2;+\infty)$;

6) $(-\infty;-4) \cup (-4;4) \cup (4;+\infty)$;

7) $(-\infty;+\infty)$;

8) $(-\infty;-3) \cup (-3;1) \cup (1;+\infty)$;

9) $\lbrack-3;+\infty)$; 10) $(3{,}5;+\infty)$.