№ 8.19 Алгебра = № 18.19 Математика
Знайдіть область визначення функції:
1) $g(x)=\frac{2}{x^{2}-1}$;
2) $f(x)=\frac{3x}{x^{2}+4}$;
3) $p(x)=\frac{5}{x^{2}-3x}$;
4) $t(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{2}{2x-7}$;
5) $g(x)=\frac{3}{x^{2}+2x-3}$;
6) $f(x)=\frac{x}{|x|-1}$;
7) $\phi(x)=\frac{x}{|x|+2}$;
8) $t(x)=\frac{5}{|x-2|-3}$;
9) $f(x)=\sqrt{3x-6}$;
10) $f(x)=\frac{10}{\sqrt{4x+10}}$.
Розв’язок:
1) $g(x)=\frac{2}{x^{2}-1}$, $x^{2}-1\neq0$, $x\neq\pm1$.
Отже, $D(g)=(-\infty;-1) \cup (-1;1) \cup (1;+\infty)$.
2) $f(x)=\frac{3x}{x^{2}+4}$. Оскільки $x^{2}+4>0$ за будь-якого значення $x$, то $D(f)=(-\infty;+\infty)$.
3) $p(x)=\frac{5}{x^{2}-3x}$, $x^{2}-3x=x(x-3)\neq0$, $x\neq0$ і $x\neq3$.
Отже, $D(p)=(-\infty;0) \cup (0;3) \cup (3;+\infty)$.
4) $t(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{2}{2x-7}$, $\frac{1}{x+1}$ має зміст для всіх $x$, крім числа $-1$; $\frac{2}{2x-7}$ має зміст для всіх $x$, крім числа $3{,}5$.
Отже, $D(t)=(-\infty;-1) \cup (-1;3{,}5) \cup (3{,}5;+\infty)$.
5) $g(x)=\frac{3}{x^{2}+2x-3}$, $x^{2}+2x-3\neq0$. Розв’яжемо рівняння $x^{2}+2x-3=0$:
$D=4+12=16$
$x_{1}=\frac{-2-4}{2}=-3$
$x_{2}=\frac{-2+4}{2}=1$
Тоді $x\neq-3$ і $x\neq1$.
Отже, $D(g)=(-\infty;-3) \cup (-3;1) \cup (1;+\infty)$.
6) $f(x)=\frac{x}{|x|-1}$, $|x|-1=0$, $|x|=1$, $x=1$ або $x=-1$.
Отже, $D(f)=(-\infty;-1) \cup (-1;1) \cup (1;+\infty)$.
7) $\varphi(x)=\frac{x}{|x|+2}$. Оскільки $|x|+2>0$ за будь-якого значення $x$, то $D(\varphi)=(-\infty;+\infty)$.
8) $t(x)=\frac{5}{|x-2|-3}$, $|x-2|-3=0$, $|x-2|=3$,
$x-2=3$ або $x-2=-3$, $x=5$ або $x=-1$.
Отже, $D(t)=(-\infty;-1) \cup (-1;5) \cup (5;+\infty)$.
9) $f(x)=\sqrt{3x-6}$, $3x-6\geq0$, $3x\geq6$, $x\geq2$.
$D(f)=\lbrack 2;+\infty)$.
10) $f(x)=\frac{10}{\sqrt{4x+10}}$, $4x+10>0$, $4x>-10$, $x>-2{,}5$.
$D(f)=(-2{,}5;+\infty)$.
Відповідь:
1) $(-\infty;-1) \cup (-1;1) \cup (1;+\infty)$;
2) $(-\infty;+\infty)$;
3) $(-\infty;0) \cup (0;3) \cup (3;+\infty)$;
4) $(-\infty;-1) \cup (-1;3{,}5) \cup (3{,}5;+\infty)$;
5) $(-\infty;-3) \cup (-3;1) \cup (1;+\infty)$;
6) $(-\infty;-1) \cup (-1;1) \cup (1;+\infty)$;
7) $(-\infty;+\infty)$;
8) $(-\infty;-1) \cup (-1;5) \cup (5;+\infty)$;
9) $\lbrack 2;+\infty)$; 10) $(-2{,}5;+\infty)$.