№ 13 ДСР 3 Алгебра = № 13 ДСР 6 Математика
Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною її розв’язків (А–Г).
Нерівність:
1) $(x+1)^{2}-5x\geq1$
2) $x^{2}-6x+9\geq0$
3) $\frac{1}{2}x^{2}-2x+7<0$
Множина розв’язків нерівності:
А. $(-\infty;+\infty)$
Б. $(-\infty;3\rbrack \cup \lbrack 3;+\infty)$
В. $(-\infty;0\rbrack \cup \lbrack 3;+\infty)$
Г. Нерівність не має розв’язків
Розв’язок:
1) Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $x^{2}+2x+1-5x\geq1$
$x^{2}-3x\geq0$
Корені рівняння $x^{2}-3x=0$ — це $x=0$ та $x=3$. Парабола $y=x^{2}-3x$ напрямлена гілками вгору, тому нерівність виконується на проміжках $(-\infty;0\rbrack \cup \lbrack 3;+\infty)$.
Це відповідає варіанту В.
2) Вираз $x^{2}-6x+9$ є повним квадратом: $(x-3)^{2}\geq0$
Квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тому нерівність справджується для всіх $x\mathbb{\in R}$, тобто $(-\infty;+\infty)$.
Це відповідає варіанту А.
3) Дослідимо знак виразу $\frac{1}{2}x^{2}-2x+7$: Дискримінант $D=(-2)^{2}-4\cdot\frac{1}{2}\cdot7=$ $=4-14=-10$. Оскільки $D<0$ і коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, то вираз $\frac{1}{2}x^{2}-2x+7$ завжди набуває лише додатних значень. Отже, нерівність $<0$ не має розв’язків. Це відповідає варіанту Г.
Відповідь:
1 — В, 2 — А, 3 — Г.