№ 15.24 Алгебра = № 32.24 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь:
$\begin{cases} xy+yz=8 \\ yz+zx=9 \\ zx+xy=5 \end{cases}$
Розв’язок:
Додамо всі три рівняння системи:
$(xy+yz)+(yz+zx)+(zx+xy)=$
$=8+9+5$
$2(xy+yz+zx)=22$
$xy+yz+zx=11$
Віднімемо від отриманого рівняння кожне з рівнянь початкової системи:
1) $(xy+yz+zx)-(xy+yz)=$
$=11-8 \Longrightarrow zx=3$
2) $(xy+yz+zx)-(yz+zx)=$
$=11-9 \Longrightarrow xy=2$
3) $(xy+yz+zx)-(zx+xy)=$
$=11-5 \Longrightarrow yz=6$
Перемножимо отримані рівності:
$(xy)\cdot(yz)\cdot(zx)=2\cdot6\cdot3$
$(xyz)^{2}=36$
$xyz=6$ або $xyz=-6$
Знайдемо значення змінних для кожного випадку:
Випадок 1: $xyz=6$
$z=\frac{xyz}{xy}=\frac{6}{2}=3$
$x=\frac{xyz}{yz}=\frac{6}{6}=1$
$y=\frac{xyz}{zx}=\frac{6}{3}=2$
Випадок 2: $xyz=-6$
$z=\frac{-6}{2}=-3$
$x=\frac{-6}{6}=-1$
$y=\frac{-6}{3}=-2$
Відповідь:
$(1;2;3)$, $(-1;-2;-3)$.