№ 16.35 Алгебра = № 33.35 Математика
Доведіть, що якщо числа $a^{2}$, $b^{2}$ і $c^{2}$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ і $\frac{1}{a+b}$ також утворюють арифметичну прогресію.
Розв’язок:
Оскільки $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ члени арифметичної прогресії, то:
$\frac{a^{2}+c^{2}}{2}=b^{2}$
$2b^{2}=a^{2}+c^{2}$
$b^{2}+b^{2}=a^{2}+c^{2}$
$b^{2}-a^{2}=c^{2}-b^{2}$
$(a+b)(b-a)=$
$=(c-b)(c+b)$
$\frac{c-b}{a+b}=\frac{b-a}{c+b}$
$\frac{c-b}{(a+b)(a+c)}=$
$=\frac{b-a}{(b+a)(a+c)}$
$\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}=$
$=\frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}$
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{a+c}$
$\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}}{2}=\frac{1}{a+c}$
Отже, числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ є членами арифметичної прогресії, оскільки вони задовольняють властивості арифметичної прогресії.