№ 16.34 Алгебра = № 33.34 Математика
Доведіть, що якщо числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ і $\frac{1}{a+b}$ утворюють арифметичну прогресію, то числа $a^{2}$, $b^{2}$ і $c^{2}$ також утворюють арифметичну прогресію.
Розв’язок:
За властивістю членів арифметичної прогресії маємо:
$\frac{1}{a+c}=\frac{\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}}{2}$
$\frac{1}{a+c}=\frac{a+b+b+c}{2(b+c)(a+b)}$
$\frac{1}{a+c}=\frac{a+2b+c}{2(b+c)(a+b)}$
$2\left( ab+b^{2}+ac+bc \right)=$
$=a^{2}+2ab+ac+ac+2bc+c^{2}$
$2ab+2b^{2}+2ac+2bc=$
$=a^{2}+2ab+2ac+2bc+c^{2}$
$2b^{2}=a^{2}+c^{2}$
$b^{2}=\frac{a^{2}+c^{2}}{2}$
Отже, числа $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ є членами арифметичної прогресії, оскільки вони задовольняють властивості арифметичної прогресії.