Завдання № 16.37

№ 16.37 Алгебра = № 33.37 Математика

Розв’яжіть рівняння:

1) $x^{3}+x^{2}-3x-3=0$;

2) $(x^{2}-2x)^{2}+2(x^{2}-2x)-3=0$.

Розв’язок:

1) $x^{3}+x^{2}-3x-3=0$

$x^{2}(x+1)-3(x+1)=0$

$(x+1)(x^{2}-3)=0$

$x+1=0$ або $x^{2}-3=0$

$x=-1$, $x=\pm\sqrt{3}$

2) $(x^{2}-2x)^{2}+2(x^{2}-2x)-3=0$

Нехай $x^{2}-2x=y$, тоді:

$y^{2}+2y-3=0$

За теоремою Вієта:

$y_{1}=-3$, $y_{2}=1$

Якщо $y=-3$:

$x^{2}-2x=-3$

$x^{2}-2x+3=0$

Дискримінант $D=(-2)^{2}-4\cdot3=$

$=4-12=-8<0$ — розв’язків немає.

Якщо $y=1$:

$x^{2}-2x=1$

$x^{2}-2x-1=0$

$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot(-1)}}{2}=$

$=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=$

$=1\pm\sqrt{2}$

Відповідь:

1) $-1$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$;

2) $1+\sqrt{2}$, $1-\sqrt{2}$.