№ 16.41 Алгебра = № 33.41 Математика
Доведіть нерівність $(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+1\geq0$.
Розв’язок:
Згрупуємо множники так:
$((x-3)(x-6))\cdot((x-4)(x-5))+1\geq0$
$(x^{2}-9x+18)(x^{2}-9x+20)+1\geq0$
Нехай $t=x^{2}-9x+19$. Тоді вираз набуває вигляду:
$(t-1)(t+1)+1\geq0$
$t^{2}-1+1\geq0$
$t^{2}\geq0$
Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, нерівність $t^{2}\geq0$ виконується для всіх $x$.
Отже, початкова нерівність доведена.