Завдання № 17.37

№ 17.37 Алгебра = № 34.37 Математика

(Задача Стенфордського університету.) Знайдіть усі значення $m$, за яких рівняння $x^{4}-(3m+2)x^{2}+m^{2}=0$ має чотири корені, які є послідовними членами арифметичної прогресії.

Нехай $x^{2}=t$, де $t\geq0$. Тоді рівняння набуває вигляду:

$t^{2}-(3m+2)t+m^{2}=0$

Корені цього рівняння $t_{1}$ та $t_{2}$ мають бути додатними, щоб початкове рівняння мало чотири корені $x=\pm\sqrt{t_{1}}$ та $x=\pm\sqrt{t_{2}}$.

Нехай $0<t_{1}<t_{2}$. Тоді корені початкового рівняння:

$-\sqrt{t_{2}},-\sqrt{t_{1}},\sqrt{t_{1}},\sqrt{t_{2}}$

Ці числа утворюють арифметичну прогресію, якщо різниця між сусідніми членами однакова:

$\sqrt{t_{1}}-(-\sqrt{t_{1}})=\sqrt{t_{2}}-\sqrt{t_{1}}$

$2\sqrt{t_{1}}=\sqrt{t_{2}}-\sqrt{t_{1}}$

$3\sqrt{t_{1}}=\sqrt{t_{2}}$

Піднесемо до квадрата:

$9t_{1}=t_{2}$

За теоремою Вієта для рівняння $t^{2}-(3m+2)t+m^{2}=0$:

$t_{1}+t_{2}=3m+2$

$t_{1}\cdot t_{2}=m^{2}$

Підставимо $t_{2}=9t_{1}$:

$t_{1}+9t_{1}=3m+2 \Longrightarrow 10t_{1}=$

$=3m+2 \Longrightarrow t_{1}=\frac{3m+2}{10}$

$t_{1}\cdot9t_{1}=m^{2} \Longrightarrow 9t_{1}^{2}=$

$=m^{2} \Longrightarrow 3t_{1}=|m|$

Підставимо $t_{1}$ у друге рівняння:

$3\cdot\frac{3m+2}{10}=|m|$

$9m+6=10|m|$

Якщо $m\geq0$:

$9m+6=10m \Longrightarrow m=6$

Якщо $m<0$:

$9m+6=-10m \Longrightarrow 19m=$

$=-6 \Longrightarrow m=-\frac{6}{19}$

Перевіримо умову $t_{1},t_{2}>0$:

Для $m=6$: $t_{1}=\frac{18+2}{10}=2>0$, $t_{2}=18>0$.

Для $m=-\frac{6}{19}$: $t_{1}=\frac{3\left(-\frac{6}{19} \right)+2}{10}=\frac{-\frac{18}{19}+\frac{38}{19}}{10}=$

$=\frac{\frac{20}{19}}{10}=\frac{2}{19}>0$, $t_{2}=9\cdot\frac{2}{19}=\frac{18}{19}>0$.

$6$, $-\frac{6}{19}$.