№ 18.34 Алгебра = № 35.34 Математика
Дано квадрат зі стороною 16 см. Середини його сторін є вершинами другого квадрата, а середини сторін другого квадрата є вершинами третього і так само далі. Знайдіть площу шостого квадрата, побудованого в такий спосіб.
Розв’язок:
Нехай $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots$ — площі першого, другого, третього і далі квадратів.
$S_{1}=16^{2}=256\text{ }\left( \text{см}^{2} \right).$
Вершини другого квадрата — середини сторін першого, тому сторона другого квадрата — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами по $8$ см:
$\sqrt{8^{2}+8^{2}}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\text{ }\left( \text{см} \right);$
$S_{2}=\left( 8\sqrt{2} \right)^{2}=128\text{ }\left( \text{см}^{2} \right).$
Так само сторона третього квадрата — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами по $4\sqrt{2}$ см:
$\sqrt{\left( 4\sqrt{2} \right)^{2}+\left( 4\sqrt{2} \right)^{2}}=$
$=\sqrt{32+32}=8\text{ }\left( \text{см} \right);$
$S_{3}=8^{2}=64\text{ }\left( \text{см}^{2} \right).$
Отже, сторона кожного наступного квадрата у $\sqrt{2}$ разів менша від сторони попереднього, а площа — вдвічі менша від площі попереднього. Тому числові значення площ $S_{1}$; $S_{2}$; $S_{3}$; … є послідовними членами геометричної прогресії зі знаменником $\frac{1}{2}$, перший член якої дорівнює $256$.
Тоді площа шостого квадрата є шостим членом цієї прогресії:
$S_{6}=S_{1}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{6-1}=$
$=256\cdot\frac{1}{32}=8\text{ }\left( \text{см}^{2} \right).$
Відповідь:
$8$ см$^{2}$.