№ 18.34 Алгебра = № 35.34 Математика
Дано квадрат зі стороною 16 см. Середини його сторін є вершинами другого квадрата, а середини сторін другого квадрата є вершинами третього і так само далі. Знайдіть площу шостого квадрата, побудованого в такий спосіб.
Розв’язок:
Нехай $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots$ — площі першого, другого, третього і далі квадрата.
$S_{1}=16\cdot16=256$ (см$^{2}$), сторона другого квадрата дорівнює $\sqrt{64+64}=8\sqrt{2}$,
$S_{2}=8\sqrt{2}\cdot8\sqrt{2}=128$, сторона третього квадрата дорівнює $\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$,
$S_{3}=4\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}=16\cdot2=32$.
$S_{1},S_{2},S_{3}$ є послідовними членами геометричної прогресії із знаменником $128\ :256=\frac{1}{2}$, перший член якої дорівнює $256$.
Тоді $S_{6}=S_{1}\cdot(\frac{1}{2})^{5}=256\cdot\frac{1}{32}=8$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$8$ см$^{2}$.