№ 18.33 Алгебра = № 35.33 Математика
Для деяких чисел $x,y,z$, жодне з яких не дорівнює нулю, справджується рівність:
$\left( x^{2}+y^{2} \right)\left( y^{2}+z^{2} \right)==$
$(xy+yz)^{2}$
Доведіть, що $x,y,z$ — послідовні члени геометричної прогресії.
Розв’язок:
Розкриємо обидві частини даної рівності:
Ліва частина:
$\left( x^{2}+y^{2} \right)\left( y^{2}+z^{2} \right)==$
$x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{4}+y^{2}z^{2}$
Права частина:
$(xy+yz)^{2}=(y(x+z))^{2}=$
$=y^{2}(x+z)^{2}=x^{2}y^{2}+2xy^{2}z+y^{2}z^{2}$
Прирівняємо їх:
$x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{4}+y^{2}z^{2}=$
$=x^{2}y^{2}+2xy^{2}z+y^{2}z^{2}$
$y^{4}-2xy^{2}z+x^{2}z^{2}=0$
$(y^{2}-xz)^{2}=0$
$y^{2}=xz$
Оскільки за умовою $x,y,z\neq0$, маємо $\frac{y}{x}=\frac{z}{y}$, тобто відношення сусідніх членів однакове. Отже, $x,y,z$ — послідовні члени геометричної прогресії, що й треба було довести.