№ 18.36 Алгебра = № 35.36 Математика
Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії $(a_{n})$, якщо:
1) $a_{2}+a_{4}=14$, $a_{6}+a_{9}=32$;
2) $a_{2}+a_{6}=4$, $a_{4}a_{3}=6$.
Розв’язок:
Використаємо формулу $n$-го члена арифметичної прогресії: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
1) Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} a_{1}+d+a_{1}+3d=14, \\ a_{1}+5d+a_{1}+8d=32; \end{cases}$
$\begin{cases} 2a_{1}+4d=14, \\ 2a_{1}+13d=32; \end{cases}$
$\begin{cases} a_{1}+2d=7, \\ 2a_{1}+13d=32. \end{cases}$
З першого рівняння $a_{1}=7-2d$. Підставимо у друге:
$2(7-2d)+13d=32$
$14-4d+13d=32$
$9d=18$
$d=2$
$a_{1}=7-2\cdot2=3$
2) Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} a_{1}+d+a_{1}+5d=4, \\ \left( a_{1}+3d \right)\left( a_{1}+2d \right)=6; \end{cases}$
$\begin{cases} 2a_{1}+6d=4, \\ \left( a_{1}+3d \right)\left( a_{1}+2d \right)=6; \end{cases}$
$\begin{cases} a_{1}+3d=2, \\ \left( a_{1}+3d \right)\left( a_{1}+2d \right)=6. \end{cases}$
Підставимо $a_{1}+3d=2$ у друге рівняння:
$2(a_{1}+2d)=6 \Rightarrow a_{1}+2d=3$
Маємо систему:
$\begin{cases} a_{1}+3d=2, \\ a_{1}+2d=3. \end{cases}$
Віднімемо від першого рівняння друге:
$d=-1$
$a_{1}=2-3(-1)=5$
Відповідь:
1) $a_{1}=3$, $d=2$; 2) $a_{1}=5$, $d=-1$.