№ 19.13 Алгебра = № 36.13 Математика
(Національна олімпіада Румунії, 1981 р.) Розв’яжіть рівняння $x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$ у цілих числах.
Розв’язок:
Розглянемо рівняння $x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$.
Якщо $x=0$, то $1=y^{4}$, звідки $y=1$ або $y=-1$. Отже, $(0;1)$ та $(0;-1)$ — розв’язки.
Якщо $x=-1$, то $1-3+1=-1=y^{4}$, що неможливо для дійсних $y$.
Якщо $x>0$, то $x^{6}<x^{6}+3x^{3}+1<(x^{3}+2)^{2}=$
$=x^{6}+4x^{3}+4$.
Це можливо лише при $3x^{3}+1<4x^{3}+4$, що виконується для всіх $x>0$.
Також перевіримо, чи може $x^{6}+3x^{3}+1$ бути квадратом $(x^{3}+1)^{2}=x^{6}+2x^{3}+1$.
Оскільки $x^{6}+2x^{3}+1<x^{6}+3x^{3}+1<x^{6}+4x^{3}+4$, вираз $x^{6}+3x^{3}+1$ лежить між двома послідовними квадратами $(x^{3}+1)^{2}$ та $(x^{3}+2)^{2}$, тому він не може бути квадратом $y^{2}$, а отже, і $y^{4}$.
Якщо $x\leq-2$, нехай $x=-k$, де $k\geq2$. Тоді $k^{6}-3k^{3}+1=y^{4}$. Розглянемо два сусідні квадрати:
$(k^{3}-2)^{2}=k^{6}-4k^{3}+4,\quad\quad(k^{3}-1)^{2}=k^{6}-2k^{3}+1.$
Перевіримо нерівності для $k\geq2$ (тобто $k^{3}\geq8$):
- $k^{6}-3k^{3}+1>(k^{3}-2)^{2} \Leftrightarrow k^{3}>3$, що виконується;
- $k^{6}-3k^{3}+1<(k^{3}-1)^{2} \Leftrightarrow k^{3}>0$, що виконується.
Отже, при $k\geq2$ вираз $k^{6}-3k^{3}+1$ лежить строго між двома сусідніми квадратами $(k^{3}-2)^{2}$ і $(k^{3}-1)^{2}$, тому не може бути квадратом цілого числа, а значить, і $y^{4}$.
Відповідь:
$(0;1)$, $(0;-1)$.