№ 19.13 Алгебра = № 36.13 Математика
(Національна олімпіада Румунії, 1981 р.) Розв’яжіть рівняння $x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$ у цілих числах.
Розв’язок:
Якщо $x=0$, то $1=y^{4}$, звідки $y=1$ або $y=-1$. Отже, $(0;1)$ та $(0;-1)$ — розв’язки.
Якщо $x=-1$, то $1-3+1=-1=y^{4}$, що неможливо для дійсних $y$.
Якщо $x>0$, то $x^{3}>0$, тому
$\left( x^{3}+1 \right)^{2}=x^{6}+2x^{3}+1<$
$<x^{6}+3x^{3}+1<$
$<x^{6}+4x^{3}+4=\left( x^{3}+2 \right)^{2}.$
Отже, ліва частина рівняння лежить строго між квадратами двох сусідніх натуральних чисел, тому не є квадратом цілого числа.
Але $y^{4}=\left( y^{2} \right)^{2}$ — квадрат цілого числа.
Тому при $x>0$ розв’язків немає.
Якщо $x\leq-2$, то нехай $x=-k$, де $k\geq2$. Тоді рівняння набуває вигляду
$k^{6}-3k^{3}+1=y^{4}.$
Оскільки $k^{3}\geq8>3$, то
$\left( k^{3}-2 \right)^{2}=k^{6}-4k^{3}+4<$
$<k^{6}-3k^{3}+1<$
$<k^{6}-2k^{3}+1=\left( k^{3}-1 \right)^{2}.$
Ліва частина знову лежить строго між квадратами двох сусідніх натуральних чисел, тому не дорівнює $y^{4}$.
Отже, при $x\leq-2$ розв’язків також немає.
Відповідь:
$(0;1)$, $(0;-1)$.