№ 20.34 Алгебра = № 37.34 Математика
З пункту $A$ до пункту $B$ виїхав мотоцикліст. Через 2 год в тому самому напрямку виїхав легковик, який прибув до пункту $B$ одночасно з мотоциклістом. Якби мотоцикліст і легковик одночасно виїхали назустріч один одному з пунктів $A$ і $B$, то вони зустрілися б через 1 год 20 хв. За який час кожен з них долає шлях від $A$ до $B$?
Розв’язок:
Нехай $x$ год — час, за який шлях від $A$ до $B$ долає мотоцикліст, а $y$ год — час, за який цей шлях долає легковик. Тоді швидкість мотоцикліста дорівнює $\frac{1}{x}$ шляху за годину, а швидкість легковика — $\frac{1}{y}$ шляху за годину.
За умовою, легковик виїхав на 2 год пізніше і прибув одночасно, отже:
$x-y=2$
При русі назустріч час до зустрічі становить 1 год 20 хв, що дорівнює $\frac{4}{3}$ год. Сума відстаней, які вони долають до зустрічі, дорівнює всьому шляху:
$\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{x}+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{y}=1$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} x-y=2 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4} \end{cases}$
З першого рівняння $x=y+2$. Підставимо у друге:
$\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$
$\frac{y+y+2}{y(y+2)}=\frac{3}{4}$
$\frac{2y+2}{y^{2}+2y}=\frac{3}{4}$
$3y^{2}+6y=8y+8$
$3y^{2}-2y-8=0$
Розв’яжемо квадратне рівняння:
$D=(-2)^{2}-4\cdot3\cdot(-8)=$
$=4+96=100$
$y_{1}=\frac{2+10}{6}=2$
$y_{2}=\frac{2-10}{6}=-\frac{4}{3}\text{ (не задовольняє умову)}$
Отже, $y=2$, тоді $x=2+2=4$.
Відповідь:
Мотоцикліст долає шлях за 4 год, легковик — за 2 год.