№ 20 ВПР 3 Алгебра = № 20 ВПТ 8 Математика
Доведіть, що коли $a$, $b$ і $c$ — три послідовних члени арифметичної прогресії, то:
1) $c^{2}=(a+2b)^{2}-8ab$;
2) $\left( \frac{a-c}{2} \right)^{2}=b^{2}-ac$.
Розв’язок:
1) Нехай $b=a+d$, $c=a+2d$, де $d$ — різниця прогресії.
Підставимо $b=a+d$ у праву частину рівності:
$(a+2b)^{2}-8ab=$
$=\left( a+2(a+d) \right)^{2}-8a(a+d)=$
$=(a+2a+2d)^{2}-8a^{2}-8ad=$
$=(3a+2d)^{2}-8a^{2}-8ad=$
$=9a^{2}+12ad+4d^{2}-8a^{2}-8ad=$
$=a^{2}+4ad+4d^{2}=(a+2d)^{2}$
Оскільки $c=a+2d$, то $c^{2}=(a+2d)^{2}$.
Отже, $c^{2}=(a+2b)^{2}-8ab$.
2) Нехай $b=a+d$, $c=a+2d$, де $d$ — різниця прогресії.
$\left( \frac{a-c}{2} \right)^{2}=\left( \frac{a-(a+2d)}{2} \right)^{2}=$
$=\left( \frac{-2d}{2} \right)^{2}=(-d)^{2}=d^{2}$
$b^{2}-ac=(a+d)^{2}-a(a+2d)=$
$=a^{2}+2ad+d^{2}-a^{2}-2ad=d^{2}$
Оскільки обидві частини дорівнюють $d^{2}$, то:
$\left( \frac{a-c}{2} \right)^{2}=b^{2}-ac$