№ 70 ВПР 3 Алгебра = № 70 ВПТ 8 Математика
Задача П. Ферма. $S$ — сума нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$ зі знаменником $q$, де $|q|<1$. Доведіть, що
$\frac{S}{S-b_{1}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}$
Розв’язок:
Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}$
Виразимо знаменник $S-b_{1}$:
$S-b_{1}=\frac{b_{1}}{1-q}-b_{1}=$
$=\frac{b_{1}-b_{1}(1-q)}{1-q}=$
$=\frac{b_{1}-b_{1}+b_{1}q}{1-q}=\frac{b_{1}q}{1-q}$
Тепер знайдемо відношення $\frac{S}{S-b_{1}}$:
$\frac{S}{S-b_{1}}=\frac{\frac{b_{1}}{1-q}}{\frac{b_{1}q}{1-q}}=$
$=\frac{b_{1}}{1-q}\cdot\frac{1-q}{b_{1}q}=\frac{1}{q}$
Оскільки $b_{2}=b_{1}q$, то $\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{1}q}=\frac{1}{q}$.
Отже, $\frac{S}{S-b_{1}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}$, що й треба було довести.