№ 69 ВПР 3 Алгебра = № 69 ВПТ 8 Математика
Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$, дорівнює $9$, а сума квадратів її членів — $40{,}5$. Знайдіть перший член і знаменник прогресії.
Розв’язок:
Нехай $b_{1}$ — перший член прогресії, $q$ — її знаменник.
Сума нескінченної геометричної прогресії:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}=9 \Longrightarrow b_{1}=9(1-q)$
Послідовність квадратів членів прогресії $b_{1}^{2},b_{1}^{2}q^{2},b_{1}^{2}q^{4},\ldots$ також є нескінченною геометричною прогресією з першим членом $b_{1}^{2}$ та знаменником $q^{2}$. Її сума:
$S_{2}=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=40{,}5$
Підставимо $b_{1}=9(1-q)$ у друге рівняння:
$\frac{81(1-q)^{2}}{(1-q)(1+q)}=40{,}5$
$\frac{81(1-q)}{1+q}=40{,}5$
$81-81q=40{,}5+40{,}5q$
$121{,}5q=40{,}5$
$q=\frac{40{,}5}{121{,}5}=\frac{1}{3}$
Знайдемо $b_{1}$:
$b_{1}=9\left( 1-\frac{1}{3} \right)=9\cdot\frac{2}{3}=6$
Відповідь:
$b_{1}=6$, $q=\frac{1}{3}$.