№ 25.11 Алгебра = № 49.11 Математика
(Київська обласна олімпіада юних математиків, 2016 рік.) Скільки існує трицифрових чисел з ненульовими цифрами, які мають таку властивість: за будь-якої перестановки цифр отримаємо трицифрове число, що ділиться націло на 4?
Розв’язок:
Скористаємось ознакою подільності на $4$: натуральне число ділиться на $4$ тоді й лише тоді, коли число, утворене двома його останніми цифрами, ділиться на $4$.
Крок 1. Усі цифри числа парні.
При будь-якій перестановці трьох цифр $a$, $b$, $c$ остання цифра може дорівнювати будь-якій з них. Якщо число $\overline{xy}$ ділиться на $4$, то воно ділиться і на $2$, тож остання цифра $y$ парна. Отже, кожна з цифр $a$, $b$, $c$ має бути парною. Оскільки нулі за умовою заборонені, цифри належать множині $\{ 2{,}4{,}6{,}8\}$.
Крок 2. Усі цифри діляться на $4$.
Нехай $x$ і $y$ — парні цифри. Тоді $\overline{xy}=10x+y$. При парному $x$ маємо $10x=2\cdot(5x)$, причому $5x$ парне (бо $x$ парне), тож $10x$ ділиться на $4$. Отже,
$10x+y\equiv y\ (mod\ 4).$
Тому щоб $\overline{xy}$ ділилося на $4$, потрібно, щоб $y$ ділилося на $4$. Оскільки остання цифра при перестановках може бути будь-якою з трьох, кожна з цифр $a$, $b$, $c$ має ділитися на $4$.
З множини $\{ 2{,}4{,}6{,}8\}$ на $4$ діляться лише $4$ і $8$. Отже, цифри числа належать множині $\{ 4{,}8\}$.
Крок 3. Перелік наборів і чисел.
Можливі мультимножини з трьох цифр (з повтореннями) з $\{ 4{,}8\}$:
| Набір цифр | Числа | Кількість |
|---|---|---|
| $\{ 4,\ 4,\ 4\}$ | $444$ | $1$ |
| $\{ 4,\ 4,\ 8\}$ | $448,\ 484,\ 844$ | $3$ |
| $\{ 4,\ 8,\ 8\}$ | $488,\ 848,\ 884$ | $3$ |
| $\{ 8,\ 8,\ 8\}$ | $888$ | $1$ |
Усього $1+3+3+1=8$ чисел.
Відповідь:
$8$ чисел.