№ 25.11 Алгебра = № 49.11 Математика
(Київська обласна олімпіада юних математиків, 2016 рік.) Скільки існує трицифрових чисел з ненульовими цифрами, які мають таку властивість: за будь-якої перестановки цифр отримаємо трицифрове число, що ділиться націло на 4?
Розв’язок:
Скористаємось ознакою подільності на $4$: натуральне число ділиться на $4$ тоді й лише тоді, коли число, утворене двома його останніми цифрами, ділиться на $4$.
Крок 1. Усі цифри числа парні.
За різних перестановок трьох цифр $a$, $b$, $c$ остання цифра може дорівнювати будь-якій з них. Якщо число $\overline{xy}$ ділиться на $4$, то воно ділиться і на $2$, тож остання цифра $y$ парна. Отже, кожна з цифр $a$, $b$, $c$ має бути парною. Оскільки нулі за умовою заборонені, цифри належать множині $\{ 2{,}4{,}6{,}8\}$.
Крок 2. Усі цифри діляться на $4$.
Нехай $x$ і $y$ — парні цифри. Тоді $\overline{xy}=10x+y$. Оскільки $x$ парне, то $5x$ теж парне, тож
$10x=2\cdot5x$ ділиться на $4$.
Отже, число $\overline{xy}$ ділиться на $4$ тоді й лише тоді, коли $y$ ділиться на $4$. Оскільки остання цифра після перестановки може бути будь-якою з трьох, кожна з цифр $a$, $b$, $c$ має ділитися на $4$.
З множини $\{ 2{,}4{,}6{,}8\}$ на $4$ діляться лише $4$ і $8$. Отже, цифри числа належать множині $\{ 4{,}8\}$.
Навпаки, якщо кожна цифра числа — $4$ або $8$, то за будь-якої перестановки дві останні цифри утворюють одне з чисел $44$, $48$, $84$, $88$, а кожне з них ділиться на $4$. Отже, підходять усі такі числа і лише вони.
Крок 3. Перелік наборів і чисел.
Можливі набори з трьох цифр (цифри можуть повторюватися) з множини $\{ 4{,}8\}$:
| Набір цифр | Числа | Кількість |
|---|---|---|
| $\{ 4,\ 4,\ 4\}$ | $444$ | $1$ |
| $\{ 4,\ 4,\ 8\}$ | $448,\ 484,\ 844$ | $3$ |
| $\{ 4,\ 8,\ 8\}$ | $488,\ 848,\ 884$ | $3$ |
| $\{ 8,\ 8,\ 8\}$ | $888$ | $1$ |
Усього $1+3+3+1=8$ чисел.
Відповідь:
$8$ чисел.