№ 1 ЗПС = № 1 ЗПС
Доведіть нерівність:
1) $(x^{3}-y^{3})(x-y)\geq3xy(x-y)^{2}$;
2) $(x^{2}-y^{2})(x^{4}-y^{4})\leq(x^{3}-y^{3})^{2}$.
Розв’язок:
1) Оскільки
$(x^{3}-y^{3})(x-y)-3xy(x-y)^{2}=$
$=(x^{2}+xy+y^{2})(x-y)^{2}-3xy(x-y)^{2}=$
$=(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2}-3xy)=$
$=(x-y)^{2}(x^{2}-2xy+y^{2})=$
$=(x-y)^{2}\cdot(x-y)^{2}=(x-y)^{4}\geq0$
то $(x^{3}-y^{3})(x-y)\geq3xy(x-y)^{2}$.
2) Оскільки
$(x^{2}-y^{2})(x^{4}-y^{4})-(x^{3}-y^{3})^{2}=$
$=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})^{2}=$
$=(x-y)^{2}(x+y)^{2}\cdot(x^{2}+y^{2})-(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})^{2}=$
$=(x-y)^{2}((x^{2}+y^{2})^{2}+(x^{2}+y^{2})-(x^{2}+xy+y^{2})^{2})=$
$=(x-y)^{2}((x^{2}+2xy+y^{2})(x^{2}+y^{2})-(x^{2}+xy+y^{2})^{2})=$
$=(x-y)^{2}(x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}-x^{4}-x^{2}y^{2}-y^{4}-2x^{3}y-2x^{2}y^{2}-2xy^{3})=$
$=(x-y)^{2}\cdot(-x^{2}y^{2})\leq0$
то $(x^{2}-y^{2})(x^{4}-y^{4})\leq(x^{3}-y^{3})^{2}$.