№ 1 ЗПС = № 1 ЗПС
Доведіть нерівність:
1) $(x^{3}-y^{3})(x-y)\geq3xy(x-y)^{2}$;
2) $(x^{2}-y^{2})(x^{4}-y^{4})\leq(x^{3}-y^{3})^{2}$.
Розв’язок:
1) Оскільки
$(x^{3}-y^{3})(x-y)-3xy(x-y)^{2}=$
$=(x^{2}+xy+y^{2})(x-y)^{2}-3xy(x-y)^{2}=$
$=(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2}-3xy)=$
$=(x-y)^{2}(x^{2}-2xy+y^{2})=$
$=(x-y)^{2}\cdot(x-y)^{2}=(x-y)^{4}\geq0$
то $(x^{3}-y^{3})(x-y)\geq3xy(x-y)^{2}$.
2) Оскільки
$(x^{2}-y^{2})(x^{4}-y^{4})-(x^{3}-y^{3})^{2}=$
$=x^{6}-x^{2}y^{4}-x^{4}y^{2}+y^{6}-$
$-\left( x^{6}-2x^{3}y^{3}+y^{6} \right)=$
$=-x^{4}y^{2}+2x^{3}y^{3}-x^{2}y^{4}=$
$=-x^{2}y^{2}\left( x^{2}-2xy+y^{2} \right)=$
$=-x^{2}y^{2}(x-y)^{2}\leq0$
то $(x^{2}-y^{2})(x^{4}-y^{4})\leq(x^{3}-y^{3})^{2}$.