№ 9 ЗПЗ 9 кл Алгебра = № 9 ЗПЗ 9 кл Алгебра
Доведіть, що $x^{2}+y^{2}-2(2x-y)+5\geq0$ для будь-яких значень змінних $x$ та $y$.
Розв’язок:
Розкриємо дужки у виразі:
$x^{2}+y^{2}-4x+2y+5$
Згрупуємо доданки, щоб виділити повні квадрати:
$\left( x^{2}-4x+4 \right)+\left( y^{2}+2y+1 \right)=$
$=(x-2)^{2}+(y+1)^{2}$
Оскільки квадрати будь-яких дійсних чисел невід’ємні, то:
$(x-2)^{2}\geq0$
$(y+1)^{2}\geq0$
Сума двох невід’ємних виразів також невід’ємна:
$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}\geq0$
Отже, $x^{2}+y^{2}-2(2x-y)+5\geq0$ для будь-яких значень $x$ та $y$, що й треба було довести.