Дано дві паралельні прямі. Чи може одна з них перейти у другу при гомотетії? Якщо так, то поясніть, як знайти центр цієї гомотетії. Скільки таких центрів може бути?
Розв’язок:
Так, може.
Виберемо будь-яку точку $O$, що не лежить на жодній із даних прямих. Проведемо через $O$ довільну січну, яка перетинає пряму $a$ в точці $X$, а пряму $b$ — у точці $X'$. Розглянемо гомотетію з центром $O$ і коефіцієнтом $k$, де $|k|=\frac{OX'}{OX}$ ($k>0$, якщо $O$ лежить поза смугою між прямими, і $k<0$, якщо $O$ лежить між ними).
Ця гомотетія переводить точку $X$ у точку $X'$. Нехай $Y$ — будь-яка інша точка прямої $a$, $Y'$ — її образ. Як і в доведенні теореми про гомотетію, $\bigtriangleup OXY \sim \bigtriangleup OX'Y'$, тому $\angle OX'Y'=\angle OXY$, звідки $X'Y' \parallel XY$. Отже, образ прямої $a$ — пряма, що проходить через $X'$ паралельно $a$. Але через точку $X'$ проходить лише одна пряма, паралельна $a$, — це пряма $b$. Отже, пряма $a$ переходить у пряму $b$.
Якщо ж узяти центр $O$ на одній із даних прямих, то гомотетія не переведе $a$ у $b$: пряма, що проходить через центр гомотетії, переходить сама в себе, а пряма, що не проходить через центр, — у пряму, що також не проходить через нього.
Отже, центром гомотетії може бути будь-яка точка площини, що не лежить на даних прямих, — таких центрів безліч.
Відповідь:
Так, може; центром є будь-яка точка площини, що не лежить на даних прямих; таких центрів безліч.